Chứng minh $a^{4}$ + $b^{4}$ $\leq$ $\frac{a^{6}}{b^{2}}$ + $\frac{b^{6}}{a^{2}}$ với a,b ∈ R 02/11/2021 Bởi Mackenzie Chứng minh $a^{4}$ + $b^{4}$ $\leq$ $\frac{a^{6}}{b^{2}}$ + $\frac{b^{6}}{a^{2}}$ với a,b ∈ R
`⇔\frac{a^12+b^12}{a^2.b^2}≥a^4+b^4` `⇔a^12+b^12≥(ab)^2.(a^4+b^4)` `⇔a^8+b^8≥a^6.b^2+b^6.a^2` `⇔a^6.(a^2-b^2)-b^6.(a^2-b^2)≥0` `⇔(a^2-b^2).(a^6-b^6)≥0` $⇔(a^2-b^2)^2.(a^4+a^2.b^2+b^4)≥0$ (LUÔN ĐÚNG) Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b$ Bình luận
`⇔\frac{a^12+b^12}{a^2.b^2}≥a^4+b^4`
`⇔a^12+b^12≥(ab)^2.(a^4+b^4)`
`⇔a^8+b^8≥a^6.b^2+b^6.a^2`
`⇔a^6.(a^2-b^2)-b^6.(a^2-b^2)≥0`
`⇔(a^2-b^2).(a^6-b^6)≥0`
$⇔(a^2-b^2)^2.(a^4+a^2.b^2+b^4)≥0$
(LUÔN ĐÚNG)
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b$