Chứng minh : (a+b). (b+c). (c+a) >= 8abc (a+b+c). (a2 + b2 + c2) >= 9abc

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\begin{array}{l}
a + b \ge 2\sqrt {ab} \\
b + c \ge 2\sqrt {bc} \\
c + a \ge 2\sqrt {ca} \\
 \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 2\sqrt {ab} .2\sqrt {bc} .2\sqrt {ca}  = 8\sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}}  = 8abc
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
a + b + c \ge 3.\sqrt[3]{{abc}}\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3.\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\
 \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3.\sqrt[3]{{abc}}.3.\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} = 9abc
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c