chứng minh : a+b+c/ √a(a+3b)+ √b(b+3c)+ √c(c+a) ≥1/2 với a,b,c là số dương

0 bình luận về “chứng minh : a+b+c/ √a(a+3b)+ √b(b+3c)+ √c(c+a) ≥1/2 với a,b,c là số dương”

1. Đáp án:

   $12$

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $√ a ( 3 a + b ) + √ b ( 3 b + a )$

   $= √ a √ 3 a + b + √ b √ 3 b + a a(3a+b)+b(3b+a)$

   $=a3a+b+b3b+a ≤ √ ( a + b ) ( 3 a + b + 3 b + a )$

   $= 2 ( a + b ) ≤(a+b)(3a+b+3b+a)=2(a+b)$

   $⇒ a + b √ a ( 3 a + b ) + √ b ( 3 b + a ) ≥ a + b 2 ( a + b ) = 1 2$

   $⇒a+ba(3a+b)+b(3b+a)≥a+b2(a+b)=12 Đẳng-thức-xảy-ra-khi //a = b$

   Trả lời

2. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có √ a ( 3 a + b ) + √ b ( 3 b + a ) = √ a √ 3 a + b + √ b √ 3 b + a a(3a+b)+b(3b+a)=a3a+b+b3b+a ≤ √ ( a + b ) ( 3 a + b + 3 b + a ) = 2 ( a + b ) ≤(a+b)(3a+b+3b+a)=2(a+b) ⇒ a + b √ a ( 3 a + b ) + √ b ( 3 b + a ) ≥ a + b 2 ( a + b ) = 1 2 ⇒a+ba(3a+b)+b(3b+a)≥a+b2(a+b)=12 Đẳng thức xảy ra khi a = b

   Trả lời