0 bình luận về “Chứng minh A chia hết cho 24
A=n⁴-2n³-n²+2n”
Đáp án:
Đề phải cho là `n ∈ Z`
Ta có
`A = n^4 – 2n^3 – n^2 + 2n`
` = n^3.(n – 2) – n.(n – 2)`
` = (n-2)(n^3 – n)`
` = (n – 2)n.(n^2 – 1)`
` = n.(n-2).(n^2 + n – 1 – n)`
` = n(n – 2).[n.(n+1) – (n + 1)]`
` = n(n – 2).(n + 1).(n – 1)`
` = (n – 2)(n-1)n(n + 1)`
Do `n – 1 ; n ; n + 1` là 3 Số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 3 số chia hết cho 3
` => (n-1)n(n + 1) ` chia hết cho 3 (1)
Do `n – 2 ; n – 1 ; n ; n + 1` là 4 số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 4 số chia hết cho 4
` => (n-2)(n – 1)n(n+1)` chia hết cho 4
Do `n ; n + 1` là 2 số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 2 số là số chẵn
Do `n – 2; n- 1` là 2 số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 2 số là số chẵn
=> Trong 4 số `n-2 ;n – 1 ; n ; n + 1` tồn tại 2 số chẵn
Trong đó có 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 2 < Vì sao lại phải xét – vì có thể số chia hết cho 4 nó chũng chia hết cho 2 nên nó sẽ không chia hết cho 8 >
Đáp án:
Đề phải cho là `n ∈ Z`
Ta có
`A = n^4 – 2n^3 – n^2 + 2n`
` = n^3.(n – 2) – n.(n – 2)`
` = (n-2)(n^3 – n)`
` = (n – 2)n.(n^2 – 1)`
` = n.(n-2).(n^2 + n – 1 – n)`
` = n(n – 2).[n.(n+1) – (n + 1)]`
` = n(n – 2).(n + 1).(n – 1)`
` = (n – 2)(n-1)n(n + 1)`
Do `n – 1 ; n ; n + 1` là 3 Số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 3 số chia hết cho 3
` => (n-1)n(n + 1) ` chia hết cho 3 (1)
Do `n – 2 ; n – 1 ; n ; n + 1` là 4 số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 4 số chia hết cho 4
` => (n-2)(n – 1)n(n+1)` chia hết cho 4
Do `n ; n + 1` là 2 số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 2 số là số chẵn
Do `n – 2; n- 1` là 2 số nguyên liên tiếp
=> 1 trong 2 số là số chẵn
=> Trong 4 số `n-2 ;n – 1 ; n ; n + 1` tồn tại 2 số chẵn
Trong đó có 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 2 < Vì sao lại phải xét – vì có thể số chia hết cho 4 nó chũng chia hết cho 2 nên nó sẽ không chia hết cho 8 >
` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 2.4
` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2)
` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 3.8
` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 24
` => A ` chia hết cho 24
Giải thích các bước giải:
Ta có: A = $n^{4}$ – 2n³ – n² + 2n
⇔ A = $n^{4}$ + n³ – 3n³ – 3n² + 2n² + 2n
⇔ A = n³(n + 1) – 3n²(n + 1) + 2n(n + 1)
⇔ A = (n +1)(n³ – 3n² + 2n)
⇔ A = (n + 1)(n³ – n² – 2n² + 2n)
⇔ A = (n +1)[n²(n – 1) – 2n(n – 1)]
⇔ A = (n + 1)(n – 1)(n² – 2n)
⇔ A = (n + 1)(n – 1)n(n – 2)
⇔ A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)
Vì A là tích của bốn số tự nhiên liên tiếp
⇒ A vừa chia hết cho 2, 3 và 4
⇒ A chia hết cho 24 (đpcm)