Chứng minh:
a) n^5 – 5n^3 + 4n chia hết cho 120 ( với mọi n thuộc Z )
b) n^3 – 3n^2 – n + 3 chia hết cho 48 ( với n lẻ )
Chứng minh:
a) n^5 – 5n^3 + 4n chia hết cho 120 ( với mọi n thuộc Z )
b) n^3 – 3n^2 – n + 3 chia hết cho 48 ( với n lẻ )
`=>` Tặng bạn
a) Ta có:
$\(n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)$
$\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)$
$\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\right]\)$
$\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)\)$
$\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)$
$\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)$
$Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 ; 5 và 8. Mà 3.5.8 = 120.$
$=> \(n^5-5n^3+4n⋮120\)$
b)
A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n – 3) – (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n – 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 – n – 3(n^2 – 1) = n(n+1)(n-1) – 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48