Chứng minh A= n ²(n + 1) + (n+1)(n+2)+(n+2)(n-3) +4 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

0 bình luận về “Chứng minh A= n ²(n + 1) + (n+1)(n+2)+(n+2)(n-3) +4 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.”

1. Đáp án:

   Ta có

   `A= n^2(n + 1) + (n+1)(n+2)+(n+2)(n-3) +4`

   ` = n^3 + n^2 + n^2 + n + 2n + 2 + n^2 + 2n – 3n – 6 + 4`

   ` = n^3 + 3n^2 + 2n`

   ` = n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n`

   ` = n^2(n + 1) + 2n(n + 1)`

   ` = (n+1)(n^2 + 2n)`

   ` = n(n+1)(n + 2)`

   Do `n; n + 1 ;n + 2` là 3 Số nguyên liên tiếp

    => 1 trong 3 số `n ; n + 1 ; n + 2` chia hết cho 3 (1)

   ` => n(n+1)(n+2)` chia hết cho 3

   Do `n;n+1` là 2 số nguyên liên tiếp

   => 1 trong 2 số là số chẵn

   ` => n(n+1)` chia hết cho 2 (2)

   Từ (1) và (2) 

   ` => n(n+1)(n+2)` chia hết cho 6

   ` => đpcm`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận

2. Ta có

   $A = n^2(n+1) + (n+1)(n+2) + (n+2)(n-3) + 4$

   $= n^3 + n^2 + n^2 + 2n + n + 2 + n^2 – 3n + 2n – 6 + 4$

   $= n^3 +3n^2 +2n$

   $= n(n^2 + 3n + 2)$

   $= n[(n^2 + n) + (2n + 2)]$

   $= n[n(n+1) + 2(n+1)]$

   $= n(n+1)(n+2)$

   Ta thấy $A$ là tích của 3 số nguyên liên tiếp, mà trong 3 số nguyên liên tiếp chắc chắn có một số chẵn và một số chia hết cho $3$. Do đó tích trên chia hết cho $6$.

   Vậy $A$ chia hết cho $6$.

   Bình luận