chứng minh √ ² + b ² ≥ a+b/ √2 với a ≥0, b ≥0

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2}} \right) – {\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\\
 = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) – \left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{2}} \right)\\
 = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} – ab\\
 = \frac{1}{2}\left( {{a^2} – 2ab + {b^2}} \right)\\
 = \frac{1}{2}{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0\\
 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge \frac{{a + b}}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b