chứng minh bất đẳng thức (1+2x)(a+y/2x)(1+4/căn(y))^2 >=81

$(1+2x)\left(1+\dfrac{y}{2x}\right)\left(1 +\dfrac{4}{\sqrt y}\right)^2$

$=\left(1+\dfrac{y}{2x} + 2x + y\right)\left(1 +\dfrac{8}{\sqrt y} + \dfrac{16}{y}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$2x + \dfrac{y}{2x}\geq 2\sqrt y$

Do đó:

$\left(1+\dfrac{y}{2x} + 2x + y\right)\left(1 +\dfrac{8}{\sqrt y} + \dfrac{16}{y}\right)$

$\geq \left(1+2\sqrt y+ y\right)\left(1 +\dfrac{8}{\sqrt y} + \dfrac{16}{y}\right)$

$= y + \dfrac{16}{y} + 10\sqrt y +\dfrac{40}{\sqrt y} + 33$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$\left(y + \dfrac{16}{y} \right)+ \left(10\sqrt y +\dfrac{40}{\sqrt y}\right)+ 33$

$\geq 2\sqrt{16} + 2\sqrt{10.40} + 33 = 81$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$