Toán Chứng minh bất đẳng thức : `(a + b + c)^2 ≤ 3(a ^2 + b^2 + c^2)` 18/07/2021 By Gabriella Chứng minh bất đẳng thức : `(a + b + c)^2 ≤ 3(a ^2 + b^2 + c^2)`
Ta có: `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc`Lại có: `(a – b)^2 >= 0` `=> a^2 – 2ab + b^2 >= 0` `=> a^2 – 2ab + b^2 + 2ab >= 2ab` `=> a^2 + b^2 >= 2ab` `=> 2ab <= a^2 + b^2` Chứng minh tương tự `=> 2ac <= a^2 + c^2; 2bc <= b^2 + c^2` `=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc <= a^2 + b^2 + c^2 + a^2 + b^2 + a^2 + c^2 + b^2 + c ^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)` `=> (a + b + c)^2 <= 3(a^2 + b^2 + c^2)` `=> đpcm` Trả lời
\(\begin{array}{l}\quad (a+b+c)^2 \leqslant 3(a^2 + b^2 + c^2)\\\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \leqslant 3a^2 + 3b^2 + 3c^2\\\Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca \geqslant 0\\\Leftrightarrow (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) \geqslant 0\\\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geqslant 0\quad \text{(luôn đúng)}\\\text{Vậy bất đẳng thức được chứng minh}\end{array}\) Trả lời
Ta có: `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc`
Lại có: `(a – b)^2 >= 0`
`=> a^2 – 2ab + b^2 >= 0`
`=> a^2 – 2ab + b^2 + 2ab >= 2ab`
`=> a^2 + b^2 >= 2ab`
`=> 2ab <= a^2 + b^2`
Chứng minh tương tự `=> 2ac <= a^2 + c^2; 2bc <= b^2 + c^2`
`=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc <= a^2 + b^2 + c^2 + a^2 + b^2 + a^2 + c^2 + b^2 + c ^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)`
`=> (a + b + c)^2 <= 3(a^2 + b^2 + c^2)`
`=> đpcm`
\(\begin{array}{l}
\quad (a+b+c)^2 \leqslant 3(a^2 + b^2 + c^2)\\
\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \leqslant 3a^2 + 3b^2 + 3c^2\\
\Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca \geqslant 0\\
\Leftrightarrow (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) \geqslant 0\\
\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geqslant 0\quad \text{(luôn đúng)}\\
\text{Vậy bất đẳng thức được chứng minh}
\end{array}\)