Chứng minh bất đẳng thức: ( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9

0 bình luận về “Chứng minh bất đẳng thức: ( a+ b +c )( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ ) ≥ 9”

1. Đáp án:

   `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9` 

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM

   Ta có:

   `(\sum a)(\sum \frac{1}{a})=3+\sum_{sym}^{}\frac{a}{b}>=3+2+2+2=9` (đpcm)

   Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`

   Cách khác:

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

   Ta có:

   `(\sum a)(\sum \frac{1}{a})>=(\sum a)(\frac{9}{\sum a})=9`

   Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`

   Sửa đề:

   Cho các số thực dương `a,b,c`

   Chứng minh `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9`

   Bình luận

2. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Bổ sung đề: `a;b;c` là `3` số thực.`a;b;c>0`

   `a+b+c=1`

   Ta có:

   `1/a+1/b+1/c`

   `=1.(1/a+1/b+1/c)`

   `=(a+b+c).(1/a+1/b+1/c)`

   `=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`

   `=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

   `=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

   Vì `a;b;c>0` nên áp dụng bất đẳng thức `Côsi` ta có:

   `a/b+b/a≥2\sqrt{a/(b).(b)/a}=2`

   `a/c+c/a≥2\sqrt{a/(c).(c)/a}=2`

   `b/c+c/b≥2\sqrt{b/(c).(c)/b}=2`

   `\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥2+2+2=6`

   `\to 3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6+3=9`

   `\to (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9`

   `\to đpcm`

   Bình luận