Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky và bất đẳng thức Schwarz.

Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky và bất đẳng thức Schwarz.

0 bình luận về “Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky và bất đẳng thức Schwarz.”

  1. chứng minh schwarz

    ta có $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$  ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$

        $\frac{a²y+b²x}{xy}$  ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$

    (a²y+b²x)(x+y)≥(a+b)².xy

    a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥(a²+2ab+b²)xy

    a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥a²xy +2abxy +b²xy

    (bx)²+(ay)²≥2(bx)(ay)

    (bx)²-2(bx)(ay)+(ay)²≥0

    (bx-ay)²≥0

    vậy $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$  ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$(*)

    Ta chứng minh bài toán tổng quát

    $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{an²}{xn}$≥$\frac{(a1+a2+…+an)²}{x1+x2+….+xn}$

    giả sử bài toán đúng với n=k

    $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$

    ta chứng minh bài toán đúng với n=k+1

    ta phải chứng minh

    $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak+1)²}{x1+x2+….+xk+1}$

    $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$ (gt)

    $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$

    $\frac{(a1+a2+…+ak+1)²}{x1+x2+….+xk+1}$(dpcm)

     

    Bình luận
  2. `Bunyakovsky`

    `(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²`

    `⇔ (ax)² + (ay)² + (bx)² + (bd)² ≥ (ax)² + 2abxy + (by)²`

    `⇔ (ay)² + (bx)² ≥ 2abxy `

    `⇔(ay)² – 2abxy + (bx)² ≥ 0`

    `⇔(ay – bx)² ≥ 0 `

    điều hiển nhiên 

    `⇒(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²`

    `Schwarz`

    `(x^2+y^2)/2≥xy`

    `⇔x^2+y^2≥2xy`

    `⇔x^2+y^2-2xy≥0`

    `⇔(x-y)^2≥0`

    điều hiển nhiên 

    `⇒(x^2+y^2)/2≥xy`

    thay `x=√a;y=√b`

    `⇒(a+b)/2≥\sqrt(ab)`

    Bình luận

Viết một bình luận