Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky và bất đẳng thức Schwarz. 15/07/2021 Bởi Charlie Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky và bất đẳng thức Schwarz.
chứng minh schwarz ta có $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$ $\frac{a²y+b²x}{xy}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$ (a²y+b²x)(x+y)≥(a+b)².xy a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥(a²+2ab+b²)xy a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥a²xy +2abxy +b²xy (bx)²+(ay)²≥2(bx)(ay) (bx)²-2(bx)(ay)+(ay)²≥0 (bx-ay)²≥0 vậy $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$(*) Ta chứng minh bài toán tổng quát $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{an²}{xn}$≥$\frac{(a1+a2+…+an)²}{x1+x2+….+xn}$ giả sử bài toán đúng với n=k $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$ ta chứng minh bài toán đúng với n=k+1 ta phải chứng minh $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak+1)²}{x1+x2+….+xk+1}$ $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$ (gt) $\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$ ≥$\frac{(a1+a2+…+ak+1)²}{x1+x2+….+xk+1}$(dpcm) Bình luận
`Bunyakovsky` `(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²` `⇔ (ax)² + (ay)² + (bx)² + (bd)² ≥ (ax)² + 2abxy + (by)²` `⇔ (ay)² + (bx)² ≥ 2abxy ` `⇔(ay)² – 2abxy + (bx)² ≥ 0` `⇔(ay – bx)² ≥ 0 ` điều hiển nhiên `⇒(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²` `Schwarz` `(x^2+y^2)/2≥xy` `⇔x^2+y^2≥2xy` `⇔x^2+y^2-2xy≥0` `⇔(x-y)^2≥0` điều hiển nhiên `⇒(x^2+y^2)/2≥xy` thay `x=√a;y=√b` `⇒(a+b)/2≥\sqrt(ab)` Bình luận
chứng minh schwarz
ta có $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$
$\frac{a²y+b²x}{xy}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$
(a²y+b²x)(x+y)≥(a+b)².xy
a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥(a²+2ab+b²)xy
a²xy+b².x²+a².y²+b²xy≥a²xy +2abxy +b²xy
(bx)²+(ay)²≥2(bx)(ay)
(bx)²-2(bx)(ay)+(ay)²≥0
(bx-ay)²≥0
vậy $\frac{a²}{x}$ +$\frac{b²}{y}$ ≥$\frac{(a+b)²}{x+y}$(*)
Ta chứng minh bài toán tổng quát
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{an²}{xn}$≥$\frac{(a1+a2+…+an)²}{x1+x2+….+xn}$
giả sử bài toán đúng với n=k
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$
ta chứng minh bài toán đúng với n=k+1
ta phải chứng minh
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak+1)²}{x1+x2+….+xk+1}$
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$ (gt)
$\frac{a1²}{x1}$+$\frac{a2²}{x2}$+…..+$\frac{ak²}{xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$≥$\frac{(a1+a2+…+ak)²}{x1+x2+….+xk}$+$\frac{ak+1²}{xk+1}$
≥$\frac{(a1+a2+…+ak+1)²}{x1+x2+….+xk+1}$(dpcm)
`Bunyakovsky`
`(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²`
`⇔ (ax)² + (ay)² + (bx)² + (bd)² ≥ (ax)² + 2abxy + (by)²`
`⇔ (ay)² + (bx)² ≥ 2abxy `
`⇔(ay)² – 2abxy + (bx)² ≥ 0`
`⇔(ay – bx)² ≥ 0 `
điều hiển nhiên
`⇒(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²`
`Schwarz`
`(x^2+y^2)/2≥xy`
`⇔x^2+y^2≥2xy`
`⇔x^2+y^2-2xy≥0`
`⇔(x-y)^2≥0`
điều hiển nhiên
`⇒(x^2+y^2)/2≥xy`
thay `x=√a;y=√b`
`⇒(a+b)/2≥\sqrt(ab)`