Chứng minh BĐT: $x^2+y^2 ≥\dfrac{(x+y)^2}{2} ≥2xy$

0 bình luận về “Chứng minh BĐT: $x^2+y^2 ≥\dfrac{(x+y)^2}{2} ≥2xy$”

1. Đáp án :

   `x^2+y^2 ≥ (x+y)^2/2 ≥ 2xy`

   Giải thích các bước giải :

   `+)`Xét :

   `x^2+y^2 ≥ (x+y)^2/2`

   `<=>2.(x^2+y^2) ≥ (x+y)^2`

   `<=>2x^2+2y^2 ≥ x^2+2xy+y^2`

   `<=>2x^2-x^2-2xy+2y^2-y^2 ≥ 0`

   `<=>x^2-2xy+y^2 ≥ 0`

   `<=>(x-y)^2 ≥ 0`  (Luôn đúng)    `(1)`

   `+)`Xét :

   `(x+y)^2/2 ≥ 2xy`

   `<=>(x+y)^2 ≥ 4xy`

   `<=>x^2+2xy+y^2 ≥ 4xy`

   `<=>x^2+2xy-4xy+y^2 ≥ 0`

   `<=>x^2-2xy+y^2 ≥ 0`

   `<=>(x-y)^2 ≥ 0`  (Luôn đúng)    `(2)`

   Từ `(1)` và `(2)` 

   `=>x^2+y^2 ≥ (x+y)^2/2 ≥ 2xy`

   Vậy : `x^2+y^2 ≥ (x+y)^2/2 ≥ 2xy`

   Trả lời

2. Đáp án:

   $+)$ $x^2+y^2≥\frac{(x+y)^2}{2}$

   $⇔2x^2+2y^2≥(x+y)^2$

   $⇔2x^2+2y^2≥x^2+2xy+y^2$

   $⇔2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2≥0$

   $⇔x^2-2xy+y^2≥0$

   $⇔(x-y)^2≥0$ (luôn đúng)

   $+)$$\frac{(x+y)^2}{2}≥2xy$

   $⇔(x+y)^2≥4xy$

   $⇔x^2+2xy+y^2≥4xy$

   $⇔x^2+2xy+y^2-4xy≥0$

   $⇔x^2-2xy+y^2≥0$

   $⇔(x-y)^2≥0$ (luôn đúng)

   Trả lời