Chứng minh BĐT ( $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ )($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$) $\geq$$(a+b+c)^{2}$
Chứng minh BĐT ( $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ )($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$) $\geq$$(a+b+c)^{2}$
Đáp án + giải thích các bước giải:
`(a^3+b^3+c^3)(1/a+1/b+1/c)=a^2+b^2+c^2+(a^3)/b+(a^3)/c+(b^3)/a+(b^3)/c+(c^3)/a+(c^3)/b`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a^2+b^2+c^2+(a^3)/b+(b^3)/a+(a^3)/c+(c^3)/a+(b^3)/c+(c^3)/b>=a^2+b^2+c^2+2\sqrt{(a^3)/b . (b^3)/a}+2\sqrt{(a^3)/c . (c^3)/a}+2\sqrt{(b^3)/c . (c^3)/b}=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`
$\begin{array}{l}\text{Bạn bổ sung điều kiện $a,b,c>0$}\\(a^3+b^3+c^3)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)=a^2+\dfrac{a^3}b+\dfrac{a^3}c+\dfrac{b^3}a+b^2+\dfrac{b^3}c+\dfrac{c^3}a+\dfrac{c^3}b+c^2\\=a^2+b^2+c^2+\left(\dfrac{a^3}b+\dfrac{b^3}a\right)+\left(\dfrac{b^3}c+\dfrac{c^3}b\right)+\left(\dfrac{c^3}a+\dfrac{a^3}c\right)\\\text{Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, ta có:}\\\left(\dfrac{a^3}b+\dfrac{b^3}a\right)+\left(\dfrac{b^3}c+\dfrac{c^3}b\right)+\left(\dfrac{c^3}a+\dfrac{a^3}c\right)\ge 2ab+2bc+2ca\\\to a^2+b^2+c^2+\left(\dfrac{a^3}b+\dfrac{b^3}a\right)+\left(\dfrac{b^3}c+\dfrac{c^3}b\right)+\left(\dfrac{c^3}a+\dfrac{a^3}c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\\\text{Đẳng thức xảy ra} \ \leftrightarrow a=b=c\\\text{Vậy BĐT được chứng minh.}\end{array}$