Chứng minh các BĐT sau
$a)$
$\frac{a^{2}}{a^{2} + 2bc}$ $+$ $\frac{b^{2}}{b^{2} + 2ac}$ $+$ $\frac{c^{2}}{c^{2} + 2ab}$ $\geq$ $1$
$b)$
$\frac{a^{2}}{a-1}$ $+$ $\frac{b^{2}}{b-1}$ $\geq$ $8$ với $a$ $>$ $1$ ; $b$ $>$ 1
$c)$
Cho
Chứng minh các BĐT sau
$a)$
$\frac{a^{2}}{a^{2} + 2bc}$ $+$ $\frac{b^{2}}{b^{2} + 2ac}$ $+$ $\frac{c^{2}}{c^{2} + 2ab}$ $\geq$ $1$
$b)$
$\frac{a^{2}}{a-1}$ $+$ $\frac{b^{2}}{b-1}$ $\geq$ $8$ với $a$ $>$ $1$ ; $b$ $>$ 1
$c)$
Cho
Đáp án:
a, Áp dụng BĐT `Cauchy–Schwarz` , ta có :
`VT = a^2/(a^2 + 2bc) + b^2/(b^2 + 2ac) + c^2/(c^2 + 2ab) >= (a + b + c)^2/(a^2 + 2bc + b^2 + 2ac + c^2 + 2ab) = (a + b + c)^2/(a + b + c)^2 = 1 = VP (đpcm)`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c`
b, Ta sẽ đi `cm`
`a^2/(a- 1) >= 4 <=> a^2/(a – 1) – 4 >= 0`
`<=> (a^2 – 4a+ 4)/(a- 1) >= 0`
`<=> (a – 2)^2/(a – 1) >= 0` ( luôn đúng , `∀a > 1`)
tương tự `-> b^2/(b – 1) ≥ 4`
Đem cộng lại ta được `a^2/(a- 1) + b^2/(b – 1) ≥ 8 ( đ.p.c.m)`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = 2`
Giải thích các bước giải: