Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a – b)3 = -(b – a)3 b) (-a – b)2 = (a + b)2

Đáp án:

$\text{a) (a – b)³ = -(b – a)³.}$

$\text{b) (-a – b)² = (a + b)².}$

Giải thích các bước giải:

$\text{a) Biến đổi vế trái, ta có: (a – b)³.}$

$\text{= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.}$

$\text{= -b³ + 3ab² – 3a²b + a³.}$

$\text{= – (b³ – 3ab² + 3a²b – a³).}$

$\text{= -(b – a)³. (1)}$

$\text{Tương tự biến đổi vế phải, ta có: -(b – a)³.}$

$\text{= -(b³ – 3ab² + 3a²b – a³).}$

$\text{= -b³ + 3a²b – 3ab² + a³.}$

$\text{= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.}$

$\text{= (a – b)³. (2)}$

$\text{Từ (1) và (2) suy ra: (a – b)³ = -(b – a)³.}$

$\text{b) Biến đổi vế trái, ta có: (-a – b)².}$

$\text{= [(-a) + (-b)]².}$

$\text{= (-a)² + 2(-a)(-b) + (-b)².}$

$\text{= a² + 2ab + b².}$

$\text{= (a + b)². (1)}$

$\text{Tương tự biến đổi vế phải, ta có: (a + b)².}$

$\text{= a² + 2ab + b².}$

$\text{= (-a)² + 2.(-a).(-b) + (-b)².}$

$\text{= [(-a) + (-b)]².}$

$\text{= (-a – b)². (2)}$

$\text{Từ (1) và (2) suy ra: (-a + b)² = (a + b)².}$