Chứng minh các đẳng thức sau:
a) acx ³+bc = ax(dx-c) -bx(cx-d) + (ax+b)(cx ²-dx+c)
b) (a+b+c)(a ²+b ²+c ²-ab-bc-ca) = a ³+b ³+c ³-3abc
c) x ²+y ²+z ²+2xy+2yz+2zx = (x+y+z) ²
d) (a+b+c) ³ = a ³+b ³+c ³+3(a+b)(b+c)(c+a)
Chứng minh các đẳng thức sau: a) acx ³+bc = ax(dx-c) -bx(cx-d) + (ax+b)(cx ²-dx+c) b) (a+b+c)(a ²+b ²+c ²-ab-bc-ca) = a ³+b ³+c ³-3abc c) x ²+y ²+z ²+
By Savannah
`a,acx^3+bc = ax(dx-c) -bx(cx-d) + (ax+b)(cx^2-dx+c)`
Xét `VP`
`ax(dx-c) -bx(cx-d) + (ax+b)(cx^2-dx+c)`
`=adx^2-acx-bcx^2+bdx+acx^3−adx^2+acx+bcx^2−bdx+bc`
`=acx^3+bc=VT(đpcm)`
`b) (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc`
Xét `VT`
`(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)`
`=a^3+a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3−a^2b−3abc−a^2c−ab^2−b^2c−bc^2−ac^2`
`=a^3+b^3+c^3-3abc=VP(đpcm)`
`c, x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2`
Xét `VT`
`x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx`
Áp dụng HĐT số 1
`=(x+y+z)^2=VP(đpcm)`
`d,(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)`
Xét `VP`
`a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)`
Áp dụng HĐT số 4
`=(a+b+c)^3=VT(đpcm)`
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a)acx^3+bc=ax(dx-c)-bx(cx-d)+(ax+b)(cx^2-dx+c)`
Ta có:`VP=ax(dx-c)-bx(cx-d)+(ax+b)(cx^2-dx+c)`
`=adx^2-acx-bcx^2+bdx+acx^3-adx^2+acx+bcx^2-bdx+bc`
`=(adx^2-adx^2)+(-acx+acx)+(-bcx^2+bcx^2)+(bdx-bdx)+acx^3+bc`
`=acx^3+bc=VT`
`⇒`đẳng thức được chứng minh
`b)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc`
Ta có:`VT=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)`
`=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc+a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2`
`=a^3+(ab^2-ab^2)+(ac^2-ac^2)+(-a^2b+a^2b)+b^3+(-abc-abc-abc)+(-a^2c+a^2c)+(bc^2-bc^2)+(-b^2c+b^2c)+c^3`
`=a^3+b^3+c^3-3abc=VP`
`⇒` Đẳng thức được chứng minh
`c)x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=(x+y+z)^2`
Ta có:`VP=(x+y+z)^2`
`=(x+y+z)(x+y+z)`
`=x^2+xy+xz+xy+y^2+yz+xz+yz+z^2`
`=x^2+y^2+z^2+(xy+xy)+(xz+xz)+(yz+yz)`
`=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=VT`
`⇒` Đẳng thức được chứng minh
`d)(a+b+c) ³ = a ³+b ³+c ³+3(a+b)(b+c)(c+a)`
Áp dụng câu `c)`
Ta có:`VT=(a+b+c)^3`
`=(a+b+c)(a+b+c)^2`
`=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)`
`=a^3+ab^2+ac^2+2a^2b+2a^2c+2abc+a^2b+b^3+bc^2+2ab^2+2abc+2b^2c+a^2c+b^2c+c^3+2abc+2ac^2+2bc^2`
`=a^3+b^3+c^3+3ab^2+3ac^2+3a^2b+3a^2c+3b^2c+3bc^2+6abc(1)`
Ta có:`VP= a ³+b ³+c ³+3(a+b)(b+c)(c+a)`
`=a^3+b^3+c^3+(3a+3b)(bc+ab+c^2+ac)`
`=a^3+b^3+c^3+3abc+3a^2b+3ac^2+3a^2c+3b^2c+3ab^2+3bc^2+3abc`
`=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ac^2+3a^2c+3b^2c+3ab^2+3bc^2+6abc(2)`
Từ `(1)` và `(2)`:
`VT=VP“⇒(a+b+c) ³ = a ³+b ³+c ³+3(a+b)(b+c)(c+a)`
`⇒`Đẳng thức được chứng minh