CHỨNG MINH CÔNG THỨC S= CĂN P.(P-A)(P-B)(P-C) ĐÂY LÀ CÔNG THỨC HÊ RÔNG KO DÙNG ĐƯỜNG TRÒN HÃY CM NÓ

Áp dụng định lý $\cos$ ta có:

$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.\cos C$

$\Rightarrow \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$

$\Rightarrow \sin C = \sqrt{1 -\cos^2 C} = \sqrt{1 – \dfrac{(a^2 + b^2 – c^2)^2}{4a^2b^2}}$

$\Rightarrow \sin C = \dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$

Ta có:

$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$

$= \dfrac{1}{2}ab.\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$

$= \dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab – a^2 – b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 – c^2)}$

$= \dfrac{1}{4}\sqrt{[c^2 -(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}$

$= \dfrac{1}{4}\sqrt{(c + a – b)(c – a + b)(a + b +c)(a + b -c)}$

$=\sqrt{\dfrac{a + b +c}{2}\cdot\dfrac{a + b – c}{2}\cdot\dfrac{b + c -a}{2}\cdot\dfrac{c + a -b}{2}}$

$= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Với $p= \dfrac{a + b +c}{2}:$ nửa chu vi