CHỨNG MINH CÔNG THỨC S= CĂN P.(P-A)(P-B)(P-C) ĐÂY LÀ CÔNG THỨC HÊ RÔNG KO DÙNG ĐƯỜNG TRÒN HÃY CM NÓ 05/07/2021 Bởi Ximena CHỨNG MINH CÔNG THỨC S= CĂN P.(P-A)(P-B)(P-C) ĐÂY LÀ CÔNG THỨC HÊ RÔNG KO DÙNG ĐƯỜNG TRÒN HÃY CM NÓ
Áp dụng định lý $\cos$ ta có: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.\cos C$ $\Rightarrow \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$ $\Rightarrow \sin C = \sqrt{1 -\cos^2 C} = \sqrt{1 – \dfrac{(a^2 + b^2 – c^2)^2}{4a^2b^2}}$ $\Rightarrow \sin C = \dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$ Ta có: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ $= \dfrac{1}{2}ab.\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$ $= \dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab – a^2 – b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 – c^2)}$ $= \dfrac{1}{4}\sqrt{[c^2 -(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}$ $= \dfrac{1}{4}\sqrt{(c + a – b)(c – a + b)(a + b +c)(a + b -c)}$ $=\sqrt{\dfrac{a + b +c}{2}\cdot\dfrac{a + b – c}{2}\cdot\dfrac{b + c -a}{2}\cdot\dfrac{c + a -b}{2}}$ $= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Với $p= \dfrac{a + b +c}{2}:$ nửa chu vi Bình luận
Áp dụng định lý $\cos$ ta có:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.\cos C$
$\Rightarrow \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$
$\Rightarrow \sin C = \sqrt{1 -\cos^2 C} = \sqrt{1 – \dfrac{(a^2 + b^2 – c^2)^2}{4a^2b^2}}$
$\Rightarrow \sin C = \dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$
Ta có:
$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
$= \dfrac{1}{2}ab.\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$
$= \dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab – a^2 – b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 – c^2)}$
$= \dfrac{1}{4}\sqrt{[c^2 -(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}$
$= \dfrac{1}{4}\sqrt{(c + a – b)(c – a + b)(a + b +c)(a + b -c)}$
$=\sqrt{\dfrac{a + b +c}{2}\cdot\dfrac{a + b – c}{2}\cdot\dfrac{b + c -a}{2}\cdot\dfrac{c + a -b}{2}}$
$= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Với $p= \dfrac{a + b +c}{2}:$ nửa chu vi