Chứng minh $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ với a ≠ 0, b ≠ 0, a+b ≠ 0
Chứng minh $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ với a ≠ 0, b ≠ 0, a+b ≠ 0
By Arianna
By Arianna
Chứng minh $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ với a ≠ 0, b ≠ 0, a+b ≠ 0
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\frac{1}{a+b}$$\leq$$\frac{1}{4}$($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)
⇔$\frac{4}{a+b}$$\leq$$\frac{a+b}{ab}$
⇔(a+b)²≥4ab
⇔a²+2ab+b²-4ab≥0
⇔a²-2ab+b²≥0
⇔(a-b)²≥0 luôn luôn đúng với mọi a>0 , b>0
nếu `a;b<0`
`⇒`ko thỏa mãn
nếu `a;b>0`
`1/4 (1/a +1/b ) ≥1/(a+b)`
`⇔1/a +1/b ≥4/(a+b)`
`⇔(a+b)/(ab)≥4/(a+b)`
`⇔(a+b)^2≥4ab`
`⇔a^2+2ab+b^2≥4ab`
`⇔a^2+b^2-2ab≥0`
`⇔(a-b)^2≥0` điều hiển nhiên
`⇒1/4 (1/a +1/b ) ≥1/(a+b)`khi `a;b>0`