Chứng minh $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$ $\geq$ $\frac{4}{x+y}$ với x,y>0 27/07/2021 Bởi Aubrey Chứng minh $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$ $\geq$ $\frac{4}{x+y}$ với x,y>0
Ta có: $(x – y) ≥ 0$ $⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0$ $⇔ x² + 2xy + y² – 4xy ≥ 0$ $⇔x(x + y) + y(x + y) ≥ 4xy$ (*) Vì $x,y > 0$ nên: x.y(x + y) > 0$ $⇒ \frac{1}{xy(x + y)} > 0$ Nhân vào (*), ta được: $ \frac{x(x + y) + y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4xy}{xy(x + y)}$ $⇔ \frac{x(x + y)}{xy(x + y)} + \frac{ y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4}{x + y}$ $⇔ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} ≥ \frac{4}{x + y}$ (Đpcm) Dấu “=” xảy ra khi $x = y$ Bình luận
`1/x+1/y>=4/(x+y)` `<=>(x+y)/(xy)>=4/(x+y)` `<=>(x+y)^2>=4xy` `<=>x^2+2xy+y^2>=4xy` `<=>x^2-2xy+y^2>=0` `<=>(x-y)^2>=0`(luôn đúng) Dấu “=” xảy ra khi `<=>x=y` `=>1/x+1/y>=4/(x+y)(AA x,y>0)` Bình luận
Ta có: $(x – y) ≥ 0$
$⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0$
$⇔ x² + 2xy + y² – 4xy ≥ 0$
$⇔x(x + y) + y(x + y) ≥ 4xy$ (*)
Vì $x,y > 0$ nên: x.y(x + y) > 0$
$⇒ \frac{1}{xy(x + y)} > 0$
Nhân vào (*), ta được:
$ \frac{x(x + y) + y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4xy}{xy(x + y)}$
$⇔ \frac{x(x + y)}{xy(x + y)} + \frac{ y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4}{x + y}$
$⇔ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} ≥ \frac{4}{x + y}$ (Đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi $x = y$
`1/x+1/y>=4/(x+y)`
`<=>(x+y)/(xy)>=4/(x+y)`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>x^2+2xy+y^2>=4xy`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>(x-y)^2>=0`(luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra khi `<=>x=y`
`=>1/x+1/y>=4/(x+y)(AA x,y>0)`