Chứng minh $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$ $\geq$ $\frac{4}{x+y}$ với x,y>0

Ta có: $(x – y) ≥ 0$

$⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0$

$⇔ x² + 2xy + y² – 4xy ≥ 0$

$⇔x(x + y) + y(x + y) ≥ 4xy$ (*)

Vì $x,y > 0$ nên: x.y(x + y) > 0$

$⇒ \frac{1}{xy(x + y)} > 0$

Nhân vào (*), ta được:

$ \frac{x(x + y) + y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4xy}{xy(x + y)}$

$⇔ \frac{x(x + y)}{xy(x + y)} + \frac{ y(x + y)}{xy(x + y)} ≥ \frac{4}{x + y}$

$⇔ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} ≥ \frac{4}{x + y}$ (Đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi $x = y$