Chứng minh không thể viết `(2^9)^2018` thành tổng của `n` số tự nhiên liên tiếp `(n ∈N,n ≥2)`

Giả sử phản chứng rằng $(2^9)^{2018}$ có thể được viết thành tổng của $n$ số tự nhiên liên tiếp từ số tự nhiên $a$, nghĩa là

$a + (a+1) + \cdots + (a + n-1) = (2^9)^{2018}$ $(n \geq 2)$

$\Leftrightarrow na + (1 + 2 + \cdots + n-1) = (2^9)^{2018}$

$\Leftrightarrow na + \dfrac{(n-1)n}{2} = (2^9)^{2018}$

$\Leftrightarrow n\left( a + \dfrac{n-1}{2} \right) = (2^9)^{2018}$

Ta thấy vế phải là một số tự nhiên, do đó vế trái cũng phải là một số tự nhiên.

Suy ra $\dfrac{n-1}{2}$ phải là một số tự nhiên, vậy $n$ phải là số lẻ.

Tuy nhiên, từ đẳng thức ta cũng có thể thấy $(2^9)^{2018}$ chia hết cho $n$. Dễ thấy ước lẻ duy nhất của $(2^9)^{2018}$ là $1$. Mà $n \geq 2$ nên điều này là vô lý.

Vậy ko thể viết $(2^9)^{2018}$ thành tổng của $n$ số tự nhiên liên tiếp.