Chứng minh mọi số nguyên N ta có:
a) n (n + 1) + 2n (n + 1) chia hết cho 6
b) _2n – 1)³ – (2n – 1) chia hết cho 8
Chứng minh mọi số nguyên N ta có:
a) n (n + 1) + 2n (n + 1) chia hết cho 6
b) _2n – 1)³ – (2n – 1) chia hết cho 8
cách 1:
a) n2(n+1)+2n(n+1)=(n+1)(n2+2n)n2(n+1)+2n(n+1)=(n+1)(n2+2n)
=n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)
Một số tự nhiên luôn có dạng 2k hoặc 2k+1 (kϵN*)
Nếu: n=2k⇒n⋮2⇒n(n+1)(n+2)⋮2n=2k⇒n⋮2⇒n(n+1)(n+2)⋮2
Nếu:n=2k+1⇒n+1=2k+1+1=2k+2⋮2⇒n(n+1)(n+2)⋮2n=2k+1⇒n+1=2k+1+1=2k+2⋮2⇒n(n+1)(n+2)⋮2
⇒n(n+1)(n+2)⋮2⇒n(n+1)(n+2)⋮2(1)
Một số tự nhiên luôn có dạng 3k hoặc 3k+1 hoặc 3k+2 (kϵN*)
Nếu: n=3k⇒n⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3n=3k⇒n⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3
Nếu: n=3k+1⇒n+2=3k+3⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3n=3k+1⇒n+2=3k+3⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3
Nếu: n=3k+2⇒n+1=3k+3⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3n=3k+2⇒n+1=3k+3⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3
⇒n(n+1)(n+2)⋮3⇒n(n+1)(n+2)⋮3(2)
Từ (1) và (2) ⇒n(n+1)(n+2)⋮6
cách 2:
n2(n+1)+2n(n+1)=(n2+2n)(n+1)=n(n+2)(n+1)n2(n+1)+2n(n+1)=(n2+2n)(n+1)=n(n+2)(n+1)
Vì n, (n+1) và (n+2) là ba số tư nhiên liên tiếp do đó tích của 3 số này sẽ chia hết cho 2 và 3 –> chia hết cho 6
b))(2n-1)³-(2n-1)=(2n-1)[(2n-1)²-1]
(2n-1)[(2n-1²)-1²]=(2n-1).(2n-1-1).(2n-1+1)(hằng đẳng thức:a²-b²=(a-b)(a+b))
⇒(2n-1).4.n(n-1)
n(n-1)chia hết cho 2 vì là tích 2 số liên tiếp
⇒(2n-1).4.n(n-1)chia hết cho(2.4)=8
học giỏi <3 vochat 5 sao nhé
Đáp án:
a, `n(n + 1) + 2n(n + 1)`
`= n(n + 1)(1 + 2)`
`= 3n(n + 1)`
Do `n , n + 1` là 2 số nguyên liên tiếp
`=> n(n + 1)` chia hết cho 2
`=> 3n(n + 1)` chia hết cho 6
`=> đpcm`
b, `(2n – 1)^3 – (2n – 1)`
`= (2n – 1)[(2n – 1)^2 – 1]`
`= (2n – 1)(4n^2 – 4n + 1 – 1)`
`= (2n – 1)(4n^2 – 4n)`
`= 4n(n – 1)(2n – 1)`
Do `n – 1 , n` là 2 số nguyên liên tiếp
`=> n(n – 1)` chia hết cho 2
`=> 4n(n – 1)(2n – 1)` chia hết cho 8
`=> đpcm`
Giải thích các bước giải: