Chứng minh `n(n+1)(2n+1)vdots6 AAn inN`.

0 bình luận về “Chứng minh `n(n+1)(2n+1)vdots6 AAn inN`.”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Vì n và n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

   ⇒n.(n+1) : 2

   ⇒n.(n+1).(2n+1) : 2   (1)

     Giả sử gọi n có dạng: 3k ; 3k+1;3k+2 ( k∈N)

   +Với n=3k thì n `:`3 ⇒n.(n+1).(2n+1) `:` 3

   +Với n = 3k+1 thì 2n+1=2.(3k+1) +1=6k+3=3.(2k+1) : 3

     ⇒ n.(n+1).(2n+1) `:` 3

    +Với n = 3k+2 thì n+1=3k+3=3(k+1) :3

   ⇒ n.(n+1).(2n+1) `:` 3

   ⇒∀ n∈N thì  n.(n+1).(2n+1) `:` 3  ( 2)

   Từ (1) và (2) mà 2 và 3 là số nguyên tố cùng nhau 

   ⇒ n.(n+1).(2n+1) `:` 6

   Bình luận

2. Vì `n(n + 1)` là `2` số tự nhiên liên tiếp `(n in mathbb N)`

   `=> n(n + 1) vdots 2 forall n in mathbb N`

   `=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 2 forall n in mathbb N`
   Vì `n in mathbb N` nên `n` có `3` dạng: `3k, 3k + 1, 3k + 2`
   `+)` Với `n = 3k => n vdots 3 => n(n + 1)(2n + 1) vdots 3`

   Vậy với `n = 3k` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(1)`

   `+)` Với `n = 3k + 1`

   `=> 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 vdots 3`

   `=> 2n + 1 vdots 3`

   `=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(2)`
   

   Vậy với `n = 3k + 1` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(2)`
   `+)` Nếu `n  = 3k + 2`

   `=> n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 vdots 3`

   `=> n + 1 vdots 3`

   `=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 3`

    Vậy với `n = 3k + 2` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3(3)`

   Từ `(1), (2)` và `(3) =>` Với mọi `n` thì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 3`

   Vì `n(n + 1)(2n + 1) vdots 2` và `3` mà `2; 3` là `2` số nguyên tố cùng nhau

   `=> n(n + 1)(2n + 1) vdots 6`

   `=> đpcm`

   Bình luận