Chứng minh $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ chia hết cho 24

Giải thích các bước giải:

Đặt $A=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

Ta có:

$n,n+1,n+2$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp

$\to n(n+1)(n+2)\quad\vdots\quad 3$

$\to n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)\quad\vdots\quad 3(1)$

Nếu $n$ chẵn $\to n=2k$

$\to A=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)$

$\to A=2k(2k+1)\cdot2(k+1)(2k+3)\cdot 2(k+2)$

$\to A=8k(2k+1)(k+1)(2k+3)(k+2)\quad\vdots\quad 8(*)$

Nếu $n$ lẻ $\to n=2k+1$

$\to A=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)(2k+5)$

$\to A=(2k+1)\cdot 2(k+1)(2k+3)\cdot 2(k+2)(2k+5)$

$\to A=4\cdot (k+1)(k+2)(2k+1)(2k+3)(2k+5)$

Vì $k+1,k+2$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp

$\to (k+1)(k+2)\quad\vdots\quad 2$

$\to 4(k+1)(k+2)\quad\vdots\quad 8$

$\to A\quad\vdots\quad 8(**)$

Từ $(*), (**)\to A\quad\vdots\quad 8$

Mà $A\quad\vdots\quad 3$

      $(3,8)=1$

$\to A\quad\vdots\quad 3\cdot 8$

$\to A\quad\vdots\quad 24$

$\to n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)\quad\vdots\quad 24$