chứng minh rằng 1+2+3+…+100 chia hết cho 1^3+2^3+3^3+..+100^3

0 bình luận về “chứng minh rằng 1+2+3+…+100 chia hết cho 1^3+2^3+3^3+..+100^3”

1. Giải thích các bước giải:

   Chứng minh $1^3+2^3+3^3+…+n^3=\left(1+2+3+..+n\right)^2$

   Với $n=1\to 1^3=1^2$ đúng

   Với $n=2\to 1^3+2^3=\left(1+2\right)^2$ đúng

   …

   Giả sử $n=k$ đúng

   $\to 1^3+2^3+…+k^3=\left(1+2+…+k\right)^2$ đúng

   Ta cần chứng minh $n=k+1$ đúng

   Ta có $1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+..+k\right)^3+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3$

   $\to 1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(k+1\right)^2\left(\dfrac{k^2}{4}+k+1\right)$

   $\to 1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(k+1\right)^2\left(\dfrac{k^2+4k+4}{4}\right)$

   $\to 1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(k+1\right)^2.\dfrac{\left(k+2\right)^2}{4}$

   $\to 1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right)^2$

   $\to 1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+..+k+\left(k+1\right)\right)^2$

   $\to n=k+1$ đúng

   $\to 1^3+2^3+…+n^3=\left(1+2+3+..+n\right)^2$

   $\to \left(1^3+2^3+3^3+..+100^3\right)=\left(1+2+3+..+100\right)^2\quad\vdots\quad \left(1+2+3+..+100\right)$

   $\to đpcm$

   Bình luận

2. Ta có tính chất $a^n+b^n \vdots a+b$

   Và $1+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}⇒2An=n(n+1)$

   Nên ta có:

   $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3)$

   $=(1^3+n^3)+[2^3+(n-1)^3]+[3^3+(n-2)^3]+…+[1^3+(n-1)^3]+(2^3+(n-2)^3]+[3+(n-3)]^3+…+$

   Áp dụng tính chất ta có: $1^3+n^3 \vdots (n+1)$

   $[2^3+(n-1)^3] \vdots (n+1)$

   $[3^3+(n-2)^3] \vdots (n+1)$

   …

   Nên $1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1^3+n^3)+[2^3+(n-1)^3]+[3^3+(n-2)^3]+… \vdots (n+1)$

   Hay $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3) \vdots (n+1)$

    $[1^3+(n-1)^3] \vdots (1+n-1=n)$

   $(2^3+(n-2)^3] \vdots (n)$

   $[3+(n-3)]^3 \vdots (n)$

   ….

   Nên $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3)=[1^3+(n-1)^3]+(2^3+(n-2)^3]+[3+(n-3)]^3+…+n \vdots (n)$

   Hay $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3) \vdots n$

   Ta có: $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3) \vdots n$;$(1^3+2^3+3^3+…+n^3) \vdots (n+1)$

   Mà $(n;n+1)=1$

   nên $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3) \vdots n.(n+1)$

   Hay $2(1^3+2^3+3^3+…+n^3) \vdots 2(1+2+3+…+n)$

   $⇒1^3+2^3+3^3+…+n^3 \vdots 1+2+3+…+n$

   Áp dụng ta có đpcm

    

   Bình luận