Chứng minh rằng: 1 ³ +2 ³+3 ³+…+n ³ = ( 1+2+3 +…+n) ²

0 bình luận về “Chứng minh rằng: 1 ³ +2 ³+3 ³+…+n ³ = ( 1+2+3 +…+n) ²”

1. Giải thích các bước giải:

    $1^3+2^3+3^3+….+n^3 = (1+2+3+….+n)^2$ $(*)$

   +) Xét $n=1$ thì $(*)$ đúng

   +) Xét $n=2$ thì $(*)$ đúng

   +) Giả sử $n=k$ đúng với $(*)$ Tức là :

   $1^3+2^3+….+k^3 = (1+2+…+k)^2$

   Ta cần chứng minh $(*)$ đúng vớ $n=k+1$

   Thật vậy ta có :

   $1^3+2^3+3^3+…..+(k+1)^3$

   $ = (1^3+2^3+….+k^3)+(k+1)^3$

   $ = (1+2+….+k)^2 + (k+1)^3$ $(1)$

   Ta đi chứng minh $2.(k+1).(1+2+…..+k+(k+1)^2 = (k+1)^3$

   Ta thấy $2.(k+1).(1+2+3+…+k)+(k+1)^2$

   $ = 2.(k+1).\dfrac{(k.(k+1)}{2}$

   $ = k.(k+1)^2 + (k+1)^2$

   $ = (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^3$ ( Đúng )

   Khi đó $(1)$ trở thành :

   $1^3+2^3+3^3+….+(k+1)^3 = (1+2+…+k)^2+2.(k+1).(1+2+….+k) + (k+1)^2 = (k+1)^3$

   $\to đpcm$

   Vậy $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.

   Bình luận