Chứng minh rằng 11/15<1/21+1/22+1/23+...+1/59+1/60<3/2

Đáp án:

Đặt A= $\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{23}$+ ….+$\frac{1}{59}$ + $\frac{1}{60}$ 

Ta có:$\frac{1}{21}$ > $\frac{1}{40}$ ; $\frac{1}{22}$ > $\frac{1}{40}$ ;…; $\frac{1}{39}$ > $\frac{1}{40}$ 

=> $\frac{1}{21}$+ $\frac{1}{22}$+…+ $\frac{1}{40}$ > $\frac{1}{40}$ + $\frac{1}{40}$ +…+ $\frac{1}{40}$ =  $\frac{1}{40}$ x 20 =  $\frac{1}{2}$ 

Lại có : $\frac{1}{41}$ > $\frac{1}{60}$ ; $\frac{1}{42}$ > $\frac{1}{60}$  ;….;$\frac{1}{59}$ > $\frac{1}{60}$ 

⇒$\frac{1}{41}$ + $\frac{1}{42}$ + … + $\frac{1}{60}$ > $\frac{1}{60}$ + $\frac{1}{60}$ + …+$\frac{1}{60}$ = $\frac{1}{60}$ x 2 = $\frac{1}{3}$ 

⇒$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ + …+$\frac{1}{60}$ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{6}$ > $\frac{11}{15}$ 

⇒ A > $\frac{11}{15}$ (1)

Tương Tự Ta Có : $\frac{x1}{21}$ < $\frac{1}{20}$ ; $\frac{1}{22}$ < $\frac{1}{20}$ ; …; $\frac{1}{40}$ < $\frac{1}{20}$ 

⇒ $\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ +…+$\frac{1}{40}$ < $\frac{1}{20}$ x 2 = 1

Lại có : $\frac{1}{41}$ < $\frac{1}{40}$ ; $\frac{1}{42}$ < $\frac{1}{40}$ ; …; $\frac{1}{60}$ < $\frac{1}{40}$ 

⇒$\frac{1}{41}$ + $\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{43}$ +…+ $\frac{1}{60}$ < $\frac{1}{40}$ x 20 = $\frac{1}{2}$

⇒$\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ +…+ $\frac{1}{60}$ < 1 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$

⇒ A < $\frac{3}{2}$ (2)

Từ  (1) và (2) 

⇒$\frac{11}{15}$ < $\frac{1}{21}$ + $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{23}$+ ….+$\frac{1}{59}$ + $\frac{1}{60}$ < $\frac{3}{2}$   (đpcm)