Chứng minh rằng 8( $a^{4}$ + $b^{4}$ ) ≥ $(a+b)^{4}$

0 bình luận về “Chứng minh rằng 8( $a^{4}$ + $b^{4}$ ) ≥ $(a+b)^{4}$”

1. `8(a^4+b^4)≥(a+b)^4`

   `⇔8a^4+8b^4≥a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4`

   `⇔7a^4+7b^4≥4a^3b+6a^2b^2+4ab^3`

   `⇔7a^4+7b^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3≥0`

   `⇔3(a^4-2a^2b^2+b^4)+4a^3(a-b)+4b^3(b-a)≥0`

   `<=>3(a^2-b^2)^2+4(a^3-b^3)(a-b)≥0`

   `<=>3(a^2-b^2)+4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)≥0` đúng với `∀a,b`

   Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`

    

   Trả lời

2. `8(a^4+b^4) >= (a+b)^4`

   `8a^4+8b^4>=a^4 +4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3+b^4`

   `<=> 7a^4 + 7b^4 – 4a^3b – 6a^2b^2 – 4ab^3>=0`

   `<=> 4a^3(a-b) – 4b^3(a-b) + 3(a^4 – 2a^2b^2 +b^4) >= 0`

   `<=> 4(a^3-b^3)(a-b) + 3(a^2 – b^2)^2 >=0`

   `<=> 4(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b) + 3(a^2 – b^2)^2 >=0`

   `<=> 4(a-b)^2(a^2+ab+b^2) + 3(a^2 – b^2)^2 >=0`

   Vì `3(a^2 – b^2)^2 >= 0`

   Và `4(a-b)^2(a^2 +ab + b^2) >= 0`

   `=>8(a^4+b^4)>=(a+b)^4`

   Dấu `=` khi `:a=b`

   Trả lời