Chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 + … + 220 chia hết cho 5.

Đáp án:

 Ta có:

$A=2+2^2+2^3+\cdots +2^{20}$

Ta thấy $A$ có $20-1+1=20$ số hạng, mà $20\ \vdots\ 4$ nên ta có thể nhóm $4$ số hạng liên tiếp với nhau. Khi đó, ta được:

$A=(2+2^2+2^3+2^4) + (2^5+2^6+2^7+2^8)+\cdots+(2^{17}+2^{18}+2^{19}+2^{20})$

$=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+\cdots+2^{17}(1+2+2^2+2^3)$

$=2.15+2^5.15+\cdots+2^{17}.15$

$=15.(2+2^5+\cdots+2^{17})$

Vì $15\ \vdots\ 15$ nên $15.(2+2^5+\cdots+2^{17}) \ \vdots\ 15$ hay $A \ \vdots\ 15$ $

$\Rightarrow đpcm$