Chứng minh rằng `a^2 + b^2>= 1/2` với `a+b>=1` Làm nhanh nhé.

0 bình luận về “Chứng minh rằng `a^2 + b^2>= 1/2` với `a+b>=1` Làm nhanh nhé.”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Vì `a+b>=1`

   Nên ta xét trường hợp 1 : `a+b=1`

   `<=>a=1-b`

   Thay vào BĐT `a^2+b^2>=1/2` , ta được :

   `(1-b)^2+b^2>=1/2`

   `<=>1^2-2b+b^2+b^2-1/2>=0`

   `<=>2b^2-2b+1/2>=0`

   `<=>4b^2-4b+1>=0`

   `<=>(2b-1)^2>=0` ( luôn đúng )

   Xét trường hợp 2 : `a+b>1`

   `(a+b)^2>1^2`

   `<=>a^2+2ab+b^2>1`

   `<=>2a^2+2b^2>a^2-2ab+b^2+1`

   `<=>2(a^2+b^2)>(a+b)^2+1`

   `<=>a^2+b^2>((a+b)^2)/2+1/2>1/2`

   Từ trường hợp 1 và trường hợp 2 `->đpcm`

   Bình luận

2. Ta có:

   `(a-b)^2>=0` với `∀a,b`

   `<=> a^2-2ab+b^2>=0`

   `<=>a^2+b^2>=2ab`

   `<=> 2(a^2+b^2)>=a^2+b^2+2ab`

   `<=> 2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`

   `<=> a^2+b^2>=(a+b)^2/2>=1/2`

   `=> a^2+b^2>=1/2` (đpcm)

    

   Bình luận