Chứng minh rằng : a)x^2+y^2-6x+10>0 với mọi x,y b)x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+14>=0 với mọi x,y,z 12/09/2021 Bởi Maya Chứng minh rằng : a)x^2+y^2-6x+10>0 với mọi x,y b)x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+14>=0 với mọi x,y,z
Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l} a)\,{x^2} + {y^2} – 6x + 10\\ = \left( {{x^2} – 6x + 9} \right) + {y^2} + 1\\ = {\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + 1\\ vi\,{\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0\forall x\,va\,{y^2} \ge 0\forall y\\ \Rightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + 1 \ge 1 > 0\forall x,y\\ \Rightarrow dieu\,phai\,chung\,\min h\\ b)\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y + 6z + 14\\ = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} + 6z + 9} \right)\\ = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} \ge 0\forall x,y,z\\ \Rightarrow dieu\,phai\,chung\,\min h \end{array}$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
a)\,{x^2} + {y^2} – 6x + 10\\
= \left( {{x^2} – 6x + 9} \right) + {y^2} + 1\\
= {\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + 1\\
vi\,{\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0\forall x\,va\,{y^2} \ge 0\forall y\\
\Rightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + 1 \ge 1 > 0\forall x,y\\
\Rightarrow dieu\,phai\,chung\,\min h\\
b)\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y + 6z + 14\\
= \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} + 6z + 9} \right)\\
= {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} \ge 0\forall x,y,z\\
\Rightarrow dieu\,phai\,chung\,\min h
\end{array}$