chứng minh rằng: a) x^2 + y^2 + z^2 +3 >hoặc= 2(x + y + z)
b)x^2+ y^2 + 2 >hoặc= xy + y + x
giúp mình thêm câu này nhé
c)x^4 + y^4 >hoặc= xy^3 +x^3y
chứng minh rằng: a) x^2 + y^2 + z^2 +3 >hoặc= 2(x + y + z)
b)x^2+ y^2 + 2 >hoặc= xy + y + x
giúp mình thêm câu này nhé
c)x^4 + y^4 >hoặc= xy^3 +x^3y
a)
`x^2+y^2+z^2+3≥2(x+y+z)`
`⇔x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1≥0`
`⇔(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2≥0` (luôn đúng)
`⇒đpcm`
b)
`x^2+y^2+2≥xy+y+x`
`⇔2x^2+2y^2+4≥2xy+2y+2x`
`⇔x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1+2≥0`
`⇔(x-y)^2+(x-1)^2+(z-1)^2+2≥0` (luôn đúng)
`⇒đpcm`
c)
`x^4+y^4≥xy^3+x^3y`
`⇔x^4-x^3y+y^4-xy^3≥0`
`⇔x^3(x-y)+y^3(y-x)≥0`
`⇔(x^3-y^3)(x-y)≥0`
`⇔(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)≥0`
`⇔(x-y)^2(x^2+2.x.y. 1/2+y^2/4+(3y^2)/4)≥0`
`⇔(x-y)^2[(x+y/2)^2+(3y^2)/4]≥0` (luôn đúng)
`⇒đpcm`
Đáp án:
`a)`
` x^2 + y^2 + z^2 + 3 \geq 2(x+y+z)`
` => x^2 + y^2 + z^2 + 3 – 2x – 2x – 2z \geq 0`
` => ( x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y +1) + (z^2 – 2x +1 ) \geq 0`
` => (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 \geq 0` (đpcm)
`b)`
` x^2 + y^2+ 2 \geq xy + y + x`
`=> 2x^2 + 2y^2 + 4 \geq 2xy + 2x + 2y`
` => 2x^2 + 2y^2 +4 – 2xy – 2x – 2y \geq 0`
` = (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) + (x^2 – 2xy + y^2) + 2 \geq 0`
` => ( x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-y)^2 + 2 \geq 0`
` =>` đpcm