Chứng minh rằng a) x ²+2xy+y ²+1 >0 với mọi x b)x ²+ y ²+1 ≥ xy +x+y c)x ²-x+1>0 với mọi số thực x 07/08/2021 Bởi Valerie Chứng minh rằng a) x ²+2xy+y ²+1 >0 với mọi x b)x ²+ y ²+1 ≥ xy +x+y c)x ²-x+1>0 với mọi số thực x
Giải thích các bước giải: a.$x^2+2xy+y^2+1=(x+y)^2+1\ge 0+1>0\quad \forall x,y$ b.$(x-y)^2+(y-1)^2+(x-1)^2 \ge 0$ $\rightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1+x^2-2x+1 \ge 0$ $\rightarrow 2(x^2+y^2+1)\ge 2(xy+x+y)$ $\rightarrow x^2+y^2+1\ge xy+x+y$ c.$x^2-x+1=x^2-2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0\quad\forall x$ Bình luận
a) (x+y)^2 + 1 > 0
b)
c) x^2- x + 1 = x^2 – 2*x*1/2 + 1/4 + 3/4 = (x-1/2)^2 +3/4 >0
Giải thích các bước giải:
a.$x^2+2xy+y^2+1=(x+y)^2+1\ge 0+1>0\quad \forall x,y$
b.$(x-y)^2+(y-1)^2+(x-1)^2 \ge 0$
$\rightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1+x^2-2x+1 \ge 0$
$\rightarrow 2(x^2+y^2+1)\ge 2(xy+x+y)$
$\rightarrow x^2+y^2+1\ge xy+x+y$
c.$x^2-x+1=x^2-2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0\quad\forall x$