chứng minh rằng ax^3+bx^2+cx+d là số nguyên với mọi x nguyên và chỉ khi 6a,2b,a+b+c,d là số nguyên.

0 bình luận về “chứng minh rằng ax^3+bx^2+cx+d là số nguyên với mọi x nguyên và chỉ khi 6a,2b,a+b+c,d là số nguyên.”

1. Ta có

   $f(0) = d$

   $f(1) = a + b + c + d$

   $f(2) = 8a + 4b + 2c + d$

   Do $f(0)$ nguyên nên $d$ nguyên

   Do f(1) nguyên và $d$ nguyên nên $a + b + c = f(1) – d$ là nguyên.

   Khi đó, ta xét

   $f(2) – 2f(1) + f(0) = 8a + 4b + 2c + d – 2a – 2b – 2c – 2d + d$

   $= 6a + 2b$

   Do $f(2), f(1)$ và $f(0)$ nguyên nên $f(2) – 2f(1) + f(0)$ nguyên, do đó $6a + 2b$ nguyên

   Mặt khác, ta có

   $f(-1) = -a + b – c + d$

   là nguyên, nên

   $f(1) + f(-1) = a + b + c + d + (-a + b – c + d)$

   $= 2b + 2d$

   cũng nguyên. Do d nguyên nên bắt buộc $2b$ là nguyên.

   Mặt khác, lại có 6a + 2b là nguyên nên 6a phải nguyên.

   Trả lời