Chứng minh rằng: a,Biểu thức A=x^2+x+1 luôn luôn dương với mọi x b,Biểu thức B=x^2-xy+y^2 luôn luôn dương với mọi x,y không đồng thời bằng 0 c,Biểu th

Lời giải.

 `a)A=x^2+x+1`

`A=(x^2+x+1/4)+3/4`

`A=x^2+2.x. 1/2+(1/2)^2+3/4`

`A=(x+1/2)^2 + 3/4`

Có `(x+1/2)^2≥0∀x=>A=(x+1/2)^2 + 3/4≥3/4>0=>A` luôn dương với mọi giá trị của `x.`

`b)` Chú ý: đây là bình phương thiếu của một hiệu, kể cả bình phương thiếu của một tổng hay một hiệu cũng luôn `≥0.`

Chứng minh:

`B=x^2-xy+y^2`

`B=x^2- 2x. 1/2y + (1/2y)^2 + 3/4y^2`

`B=(x-1/2y)^2+ 3/4y^2`

Nhận xét: `(x-1/2y)^2≥0∀x,y` và `3/4y^2≥0∀y`

`=>B=(x-1/2y)^2+ 3/4y^2≥0∀x,y`

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi `x=y=0.`

Mà đề bài cho `x,y\ne0=>B>0` với mọi giá trị của `x,y.`

Dạng tổng ta cũng suy luận `x^2+xy+y^2=(x+1/2y)^2+3/4y^2≥0.` với mọi `x,y.`

`c)C=4x-10-x^2`

`C=(-x^2+4x-4)-6`

`C=-(x^2-4x+4)-6`

`C=-(x-2)^2-6.`

Nhận xét: `(x-2)^2≥0∀x=>-(x-2)^2≤0∀x`

`=>C=-(x-2)^2-6≤0+(-6)=-6<0=>` biểu thức `C` luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của `x.`