Chứng minh rằng:
a,Biểu thức A=x^2+x+1 luôn luôn dương với mọi x
b,Biểu thức B=x^2-xy+y^2 luôn luôn dương với mọi x,y không đồng thời bằng 0
c,Biểu thức C=4x-10-x^2 luôn luôn âm với mọi x
Chứng minh rằng:
a,Biểu thức A=x^2+x+1 luôn luôn dương với mọi x
b,Biểu thức B=x^2-xy+y^2 luôn luôn dương với mọi x,y không đồng thời bằng 0
c,Biểu thức C=4x-10-x^2 luôn luôn âm với mọi x
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Lời giải.
`a)A=x^2+x+1`
`A=(x^2+x+1/4)+3/4`
`A=x^2+2.x. 1/2+(1/2)^2+3/4`
`A=(x+1/2)^2 + 3/4`
Có `(x+1/2)^2≥0∀x=>A=(x+1/2)^2 + 3/4≥3/4>0=>A` luôn dương với mọi giá trị của `x.`
`b)` Chú ý: đây là bình phương thiếu của một hiệu, kể cả bình phương thiếu của một tổng hay một hiệu cũng luôn `≥0.`
Chứng minh:
`B=x^2-xy+y^2`
`B=x^2- 2x. 1/2y + (1/2y)^2 + 3/4y^2`
`B=(x-1/2y)^2+ 3/4y^2`
Nhận xét: `(x-1/2y)^2≥0∀x,y` và `3/4y^2≥0∀y`
`=>B=(x-1/2y)^2+ 3/4y^2≥0∀x,y`
Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi `x=y=0.`
Mà đề bài cho `x,y\ne0=>B>0` với mọi giá trị của `x,y.`
Dạng tổng ta cũng suy luận `x^2+xy+y^2=(x+1/2y)^2+3/4y^2≥0.` với mọi `x,y.`
`c)C=4x-10-x^2`
`C=(-x^2+4x-4)-6`
`C=-(x^2-4x+4)-6`
`C=-(x-2)^2-6.`
Nhận xét: `(x-2)^2≥0∀x=>-(x-2)^2≤0∀x`
`=>C=-(x-2)^2-6≤0+(-6)=-6<0=>` biểu thức `C` luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của `x.`