Chứng minh rằng a mũ 2 + b mũ 2 + c mũ 2 > hoặc = AB +AC+BC 07/08/2021 Bởi Mackenzie Chứng minh rằng a mũ 2 + b mũ 2 + c mũ 2 > hoặc = AB +AC+BC
Xét hiệu: $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)$$=\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]$$=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$Vì $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0$Hên $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]≥0$Hay $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc ≥0⇔ a^2+b^2+c^2\frac{1}{2}ab+ac+bc$ Bình luận
Đáp án: `text{Bất đẳng thức được chứng minh.}` Giải thích các bước giải: `a^2 + b^2 + c^2 >= ab + ac + bc` `<=> a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc >= 0` `<=> 2 ( a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc ) >= 0` `<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2ac – 2bc >= 0` `<=> ( a^2 – 2ab + b^2 ) + ( b^2 – 2bc + c^2 ) + ( a^2 – 2ac + c^2 ) >=0 ` `<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ \ text{(Luôn đúng)}` `text{Dấu “=” xảy ra khi : a=b=c}` `text{Vậy bất đẳng thức được chứng minh.}` Bình luận
Xét hiệu: $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
$=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)$
$=\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]$
$=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$
Vì $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0$
Hên $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]≥0$
Hay $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc ≥0⇔ a^2+b^2+c^2\frac{1}{2}ab+ac+bc$
Đáp án:
`text{Bất đẳng thức được chứng minh.}`
Giải thích các bước giải:
`a^2 + b^2 + c^2 >= ab + ac + bc`
`<=> a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc >= 0`
`<=> 2 ( a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc ) >= 0`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2ac – 2bc >= 0`
`<=> ( a^2 – 2ab + b^2 ) + ( b^2 – 2bc + c^2 ) + ( a^2 – 2ac + c^2 ) >=0 `
`<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ \ text{(Luôn đúng)}`
`text{Dấu “=” xảy ra khi : a=b=c}`
`text{Vậy bất đẳng thức được chứng minh.}`