Toán Chứng minh rằng: A=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc N 10/09/2021 By Ximena Chứng minh rằng: A=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc N
Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ta có $A = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3$ $= n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 12n + 8$ $= 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9$ $= 3(n^3 + 5n) + 9(n^2+1)$ Vậy để chứng minh $A$ chia hết cho 9 thì ta sẽ cminh $3(n^3 + 5n)$ chia hết cho 9 hay $n^3 + 5n$ chia hết cho 3. Nếu $n$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $n^3 + 5n=n(n^2+5)$ chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9. Giả sử $n$ chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho $n = 3k + 1$. Thay vào ta có $n^3 + 5n = n(n^2+5)$ $= (3k+1)[(3k+1)^2 + 5]$ $= (3k+1)(9k^2 + 6k + 1 + 5)$ $= (3k+1)(9k^2 + 6k + 6)$ $= (3k+1)3(3k^2 + 2k + 2)$ Vậy $n^3 + 5n$ chia hết cho 3, do đó $3(n^3+5n)$ chia hết cho 9 nên $A$ chia hết cho 9. Với $n$ chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho $n = 3k + 2$. Thay vào ta có $n^3 + 5n = n(n^2 + 5)$ $= (3k+2)[(3k+2)^2 + 5]$ $= (3k+2)(9k^2 + 12k + 4 + 5)$ $= (3k+2)(9k^2 + 12k + 9)$ $= (3k+2)3(3k^2 + 4k + 3)$ Vậy $n^3 + 5n$ chia hết cho 3, do đó $3(n^3 + 5n)$ chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9. Vậy trong mọi trường hợp với $n$, A đều chia hết cho 9. Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ta có
$A = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3$
$= n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 12n + 8$
$= 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9$
$= 3(n^3 + 5n) + 9(n^2+1)$
Vậy để chứng minh $A$ chia hết cho 9 thì ta sẽ cminh $3(n^3 + 5n)$ chia hết cho 9 hay $n^3 + 5n$ chia hết cho 3.
Nếu $n$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $n^3 + 5n=n(n^2+5)$ chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.
Giả sử $n$ chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho $n = 3k + 1$. Thay vào ta có
$n^3 + 5n = n(n^2+5)$
$= (3k+1)[(3k+1)^2 + 5]$
$= (3k+1)(9k^2 + 6k + 1 + 5)$
$= (3k+1)(9k^2 + 6k + 6)$
$= (3k+1)3(3k^2 + 2k + 2)$
Vậy $n^3 + 5n$ chia hết cho 3, do đó $3(n^3+5n)$ chia hết cho 9 nên $A$ chia hết cho 9.
Với $n$ chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho $n = 3k + 2$. Thay vào ta có
$n^3 + 5n = n(n^2 + 5)$
$= (3k+2)[(3k+2)^2 + 5]$
$= (3k+2)(9k^2 + 12k + 4 + 5)$
$= (3k+2)(9k^2 + 12k + 9)$
$= (3k+2)3(3k^2 + 4k + 3)$
Vậy $n^3 + 5n$ chia hết cho 3, do đó $3(n^3 + 5n)$ chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.
Vậy trong mọi trường hợp với $n$, A đều chia hết cho 9.