Chứng minh rằng
a) n⁵-5n³+4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
b) n³-3n²-n+3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n
Chứng minh rằng
a) n⁵-5n³+4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
b) n³-3n²-n+3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n
Đáp án:
`↓↓`
Giải thích các bước giải:
`a)`
Ta có : `n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)`
`=n(n^4-n^2-4n^2+4)=n[n^2(n-1)-4(n^2-1)]`
`=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) `
`=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)`
Vì tích của `5` số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho `3, 5, 8`
Mà `(3,5,8)=1`
`=> (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) vdots 120`
Hay `n^5-5n^3+4n vdots 120`
`b)`
Ta có : `n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)`
`=(n-3)(n^2-1)`
`=(n-3)(n-1)(n+1)` `(1)`
Vì `n` lẻ `=>` có dạng `2k+1`
Từ `(1)` ta được : `(2k+1-3)(2k+1-1)(2k+1+1)`
`=(2k-2)2k(2k+2)`
`=2(k-1).2k.2k(k+1)`
`=8k(k-1)k(k+1)`
Vì `(k-1)k(k+1)` là tích `3` số nguyên liên tiếp
`=> (k-1)k(k+1) vdots 3` `(2)`
Vì `(k-1)k` là tích `2` số nguyên liên tiếp
`=> (k-1)k vdots 2` `(3)`
Từ `(2)&(3) => (k-1)k(k+1) vdots 6` `(` vì `(2,3)=1))`
`=> 8k(k-1)k(k+1) vdots 48`
Hay `n^3-3n^2-n+3 vdots 48`