Chứng minh rằng a) n⁵-5n³+4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n b) n³-3n²-n+3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n

Đáp án:

`↓↓` 

Giải thích các bước giải:

`a)`

Ta có : `n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)`

`=n(n^4-n^2-4n^2+4)=n[n^2(n-1)-4(n^2-1)]`

`=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) `

`=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)`

Vì tích của `5` số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho `3, 5, 8`

Mà `(3,5,8)=1`

`=> (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) vdots 120`

Hay `n^5-5n^3+4n vdots 120`

`b)`

Ta có : `n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)`

`=(n-3)(n^2-1)`

`=(n-3)(n-1)(n+1)` `(1)`

Vì `n` lẻ `=>` có dạng `2k+1`

Từ `(1)` ta được : `(2k+1-3)(2k+1-1)(2k+1+1)`

`=(2k-2)2k(2k+2)`

`=2(k-1).2k.2k(k+1)`

`=8k(k-1)k(k+1)`

Vì `(k-1)k(k+1)` là tích `3` số nguyên liên tiếp

`=> (k-1)k(k+1) vdots 3` `(2)`

Vì `(k-1)k` là tích `2` số nguyên liên tiếp

`=> (k-1)k vdots 2` `(3)`

Từ `(2)&(3) => (k-1)k(k+1) vdots 6`  `(` vì `(2,3)=1))`

`=> 8k(k-1)k(k+1) vdots 48`

Hay `n^3-3n^2-n+3 vdots 48`