Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương: a) A=x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 2y + 6 b) B=2x^2 – 4xy + 5y^2 + 1 17/11/2021 Bởi Isabelle Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương: a) A=x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 2y + 6 b) B=2x^2 – 4xy + 5y^2 + 1
Đáp án: b) \(B > 0\forall x;y\) Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}a)A = {x^2} + 2xy + 3{y^2} + 2x + 2y + 6\\ = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy + 2x + 2y + 2{y^2} + 5\\ = {\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} + 5\\Do:{\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} \ge 0\forall x;y\\ \to {\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} + 5 > 0\forall x;y\\ \to A > 0\forall x;y\\b)B = 2{x^2} – 4xy + 5{y^2} + 1\\ = {x^2} – 4xy + 4{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1\\ = {\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 1\\Do:{\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} \ge 0\forall x;y\\ \to {\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 1 > 0\forall x;y\\ \to B > 0\forall x;y\end{array}\) Bình luận
Đáp án: `↓↓` Giải thích các bước giải: `a) A=x^2+2xy+3y^2+2x+2y+6` `=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y+2y^2+5` `=(x+y+1)^2+2y^2+5>=5>0` `b) B=2x^2-4xy+5y^2+1` `=x^2-4xy+4y^2+x^2+y^2+1` `=(x-2y)^2+y^2+1+x^2>=1>0` Bình luận
Đáp án:
b) \(B > 0\forall x;y\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)A = {x^2} + 2xy + 3{y^2} + 2x + 2y + 6\\
= {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy + 2x + 2y + 2{y^2} + 5\\
= {\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} + 5\\
Do:{\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} \ge 0\forall x;y\\
\to {\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} + 5 > 0\forall x;y\\
\to A > 0\forall x;y\\
b)B = 2{x^2} – 4xy + 5{y^2} + 1\\
= {x^2} – 4xy + 4{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1\\
= {\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 1\\
Do:{\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} \ge 0\forall x;y\\
\to {\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 1 > 0\forall x;y\\
\to B > 0\forall x;y
\end{array}\)
Đáp án:
`↓↓`
Giải thích các bước giải:
`a) A=x^2+2xy+3y^2+2x+2y+6`
`=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y+2y^2+5`
`=(x+y+1)^2+2y^2+5>=5>0`
`b) B=2x^2-4xy+5y^2+1`
`=x^2-4xy+4y^2+x^2+y^2+1`
`=(x-2y)^2+y^2+1+x^2>=1>0`