Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương: a) A=x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 2y + 6 b) B=2x^2 – 4xy + 5y^2 + 1

0 bình luận về “Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương: a) A=x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 2y + 6 b) B=2x^2 – 4xy + 5y^2 + 1”

1. Đáp án:

   b) \(B > 0\forall x;y\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   a)A = {x^2} + 2xy + 3{y^2} + 2x + 2y + 6\\
    = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy + 2x + 2y + 2{y^2} + 5\\
    = {\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} + 5\\
   Do:{\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} \ge 0\forall x;y\\
    \to {\left( {x + y + 1} \right)^2} + 2{y^2} + 5 > 0\forall x;y\\
    \to A > 0\forall x;y\\
   b)B = 2{x^2} – 4xy + 5{y^2} + 1\\
    = {x^2} – 4xy + 4{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1\\
    = {\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 1\\
   Do:{\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} \ge 0\forall x;y\\
    \to {\left( {x – 2y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} + 1 > 0\forall x;y\\
    \to B > 0\forall x;y
   \end{array}\)

   Bình luận

2. Đáp án:

   `↓↓` 

   Giải thích các bước giải:

    `a) A=x^2+2xy+3y^2+2x+2y+6`

   `=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y+2y^2+5`

   `=(x+y+1)^2+2y^2+5>=5>0`

   `b) B=2x^2-4xy+5y^2+1`

   `=x^2-4xy+4y^2+x^2+y^2+1`

   `=(x-2y)^2+y^2+1+x^2>=1>0`

   Bình luận