Chứng minh rằng các cặp sau đây là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên n : a, n+6 và n+7 b, 2n+5 và 3n+7 c, 2n+5 và 4n+8 d, 5n+12 và 3n+7 Giúp mì

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a,` Gọi `d=(n+6;n+7)`

Ta có `:`

$\begin{cases} n+6\vdots d\\n+7\vdots d\end{cases}$`=>` `(n+7)-(n+6)\vdots d`

`=>` `1\vdotsd=>d\in Ư(1)=>d=1`

Vậy `n+6` và `n+7` là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên `n.`

`text()`

`b,` Gọi `d=(2n+5;3n+7)`

Ta có `:`

$\begin{cases} 2n+5\vdots d\\3n+7\vdots d\end{cases}$`=>`$\begin{cases} 3(2n+5)\vdots d\\2(3n+7)\vdots d\end{cases}$`=>`$\begin{cases} 6n+15\vdots d\\6n+14\vdots d\end{cases}$

`=>` `(6n+5)-(6n+14)\vdotsd`

`=>` `1\vdotsd=>d\in Ư(1)=>d=1`

Vậy `2n+5` và `3n+7` là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên `n.`

`text()`

`c,` Gọi `d=(2n+5;4n+8)`

Ta có `:` 

$\begin{cases} 2n+5\vdots d\\4n+8\vdots d\end{cases}$`=>`$\begin{cases} 2(2n+5)\vdots d\\4n+8\vdots d\end{cases}$`=>`$\begin{cases} 4n+10\vdots d\\4n+8\vdots d\end{cases}$

`=>` `(4n+10)-(4n+8)\vdotsd`

`=>` `2\vdotsd=>d\in Ư(2)=>d\in{1;2}`

Vì $\begin{cases} 2n+5 \text{ ( lẻ )}\\4n+8\text{ ( chẵn )}\end{cases}$`=>“text(Nguyên tố cùng nhau).`

`=>` `d=1`

Vậy `2n+5` và `4n+8` là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên `n.`

`text()`

`d,` Gọi `d=(5n+12;3n+7)`

Ta có `:`

$\begin{cases} 5n+12\vdots d\\3n+7\vdots d\end{cases}$`=>`$\begin{cases} 3(5n+12)\vdots d\\5(3n+7)\vdots d\end{cases}$`=>`$\begin{cases} 15n+36\vdots d\\15n+37\vdots d\end{cases}$

`=>` `(15n+36)-(15n+35) \vdots d`

`=>` `1\vdots d =>d\in Ư(1)=>d=1`

Vậy `5n+12` và `3n+7` là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên `n.`