Chứng minh rằng các mệnh đề sau đúng với ∀n ∈N*
a) “n ³+2n chia hết cho 3, ∀ n ∈N* ”
b) “n ³+11n chia hết cho 6, ∀ n ∈N* ”
Chứng minh rằng các mệnh đề sau đúng với ∀n ∈N* a) “n ³+2n chia hết cho 3, ∀ n ∈N* ” b) “n ³+11n chia hết cho 6, ∀ n ∈N* ”
By Isabelle
Đáp án:
a, Ta có :
`n^3 + 2n = n(n^2 + 2)`
Do `n ∈ N` nên n sẽ có dạng là `3k ; 3k+1 ; 3k + 2 (k ∈ N)`
Với `n = 3k`
`=> n(n^2 + 2)` chia hết cho 3
Với `n = 3k + 1` và `n = 3k + 2`
`=> n^2` chia 3 dư 1
`=> n^2 + 2` chia hết cho 3
`=> n(n^2 + 2)` chia hết cho 3
`=> n^3 + 2n ` chia hết cho 3 (đpcm)
b, Ta có :
Xét với n chẵn
`=> n^3 + 11n` chia hết cho 2
Xét với n lẻ
`=> n^3` là số lẻ
`=> 11n` là số lẻ
`=> n^3 + 11n` chia hét cho 2
`=> n^3 + 11n` chia hết cho 2 `∀n ∈ N` `(1)`
Ta có :
`n^3 + 11n`
` = n(n^2 + 11)`
Xét tương tự câu a
Với `n = 3k`
`=> n(n^2 + 11)` chia hết cho 3
Với `n = 3k + 1` và `n = 3k + 2`
`=> n^2` chia 3 dư 1
`=> n^2 + 11` chia hết cho 3
`=> n(n^2 + 11)` chia hết cho 3
`=> n^3 + 11n ` chia hết cho 3 `(2)`
Do `(2,3) = 1`
Từ (1) và (2)
`=> n^3 + 11n` chia hết cho 6 (đpcm)
Giải thích các bước giải: