Chứng minh rằng: cos 27 – cos 63 = $\frac{ √10 – √2}{4}$ P/s: có cách nào để không cần tính giá trị lượng giác của góc 18, 36 mà vẫn làm được b

$\begin{array}{l} \cos {27^o} – \cos {63^o} =  – 2\sin \left( {\dfrac{{{{27}^o} + {{63}^o}}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{{{27}^o} – {{63}^o}}}{2}} \right)\\  =  – 2\sin {45^o}.\sin \left( { – {{18}^o}} \right) = 2\sin {18^o}\sin {45^o} \end{array}$  

$\begin{array}{l} \sin {18^o} = \cos {36^o}\\  \Leftrightarrow \sin \left( {{{3.18}^o}} \right) = \cos \left( {{{2.18}^o}} \right)\\  \Leftrightarrow 3\sin {18^o} – 4{\sin ^3}{18^o} = 1 – 2{\sin ^2}{18^o}\\  \Leftrightarrow 4{u^3} – 2{u^2} – 3u + 1 = 0\left( {u = \sin {{18}^o}} \right)\\  \Leftrightarrow \left( {u – 1} \right)\left( {4{u^2} + 2u – 1} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ u = \dfrac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{4} \end{array} \right. \end{array}$

Vì $u\ne 1$ và $u>0$ nên $u=\dfrac{-1+\sqrt 5}{2}$

$\begin{array}{l} A = 2\sin {45^o}.\sin {18^o}\\ A = 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 5  – 1}}{4} = \dfrac{{\sqrt {10}  – \sqrt 2 }}{4} \end{array}$

P/s: theo mình là không thể nào không cần tính giá trị lượng giác của góc 18, 36.