chứng minh rằng hai số nguyên 2n và 12$n^{2}$ -6n+1 không đồng thời là số chính phương với n là số tự nhiên

0 bình luận về “chứng minh rằng hai số nguyên 2n và 12$n^{2}$ -6n+1 không đồng thời là số chính phương với n là số tự nhiên”

1. Đặt T là số nguyên thì 12n² + 1 là số chính phương lẻ.

   Đặt \(12n^2+1=\left(2k-1\right)^2,\left(k\in N\right)\)

   \(\Leftrightarrow12n^2+1=4k^2-4k+1\)

   \(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)

   \(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)

   \(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)

   \(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)

   \(\Leftrightarrow k\left(k-1\right)⋮3\Rightarrow k⋮3;k-1⋮3\)

   +) Nếu \(k⋮3\Rightarrow n^2=\left(\dfrac{k}{3}\right).\left(k-1\right)\). Mà \(\left(\dfrac{k}{3};k-1\right)=1\)nên đặt \(\dfrac{k}{3}=x^2\Rightarrow k=3x^2\)

   Đặt \(k-1=y^2\Rightarrow k=y^2+1\)

   \(\Rightarrow3x^2=y^2+1\equiv2\left(mod3\right)\)

   Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1.

   +) Nếu \(k-1⋮3\)

   \(\Rightarrow n^2=\dfrac{k.\left(k-1\right)}{3}\)mà \(\left(k;\dfrac{\left(k-1\right)}{3}\right)=1\)nên đặt k = z² và \(\dfrac{\left(k-1\right)}{3}=t^2\)

   \(\Rightarrow T=…=2+2\left(2k-1\right)=4k=4z^2=\left(2z^2\right)\)là 1 số chính phương

   => ĐPCM

    

   Bình luận