Chứng minh rằng: hàm số `y=(-x^2-2x+3)/(x+1)` nghịch biến trên mỗi khoảng của nó.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `y=\frac{-x^2-2x+3}{x+1}`

TXĐ: `D=\mathbb{R} \\ {-1}`

`y’=\frac{(-x^2-2x+3)’.(x+1)-(x+1)’.(-x^2-2x+3)}{(x+1)^2}`

`y’=\frac{(-2x-2)(x+1)-1.(-x^2-2x+3)}{(x+1)^2}`

`y’=\frac{-2x^2-4x-2+x^2+2x-3}{(x+1)^2}`

`y’=\frac{-(x^2+2x+5)}{(x+1)^2}`

`y’=\frac{-(x^2+2x+1+4)}{(x+1)^2}`

`y’=\frac{-[(x+1)^2+4]}{(x+1)^2}`

`y’=\frac{-(x+1)^2-4}{(x+1)^2}`

Ta có: `(x+1)^2 > 0 ∀x`

`-(x+1)^2 \le 0 ∀x`

`⇒ -(x+1)^2-4 \le -4`

`⇒ y’ < 0`

Vậy HS luôn nghịch biến trên khoảng TXĐ của nó `(-∞;-1)` và `(-1;+∞)`