Chứng minh rằng hiệu các lập phương của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

0 bình luận về “Chứng minh rằng hiệu các lập phương của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8”

1. Gọi hai số lẻ bất kì là 2a+12a+1 và 2b+1(a,b∈Z)2b+1(a,b∈Z)

   Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng:

   (2a+1)2(2a+1)2 −– (2b+1)2(2b+1)2 =(4a2+4a+1)−(4b2+4b+1)=(4a2+4a+1)-(4b2+4b+1)

   ⇒(4a2+4a)−(4b2+4b)⇒(4a2+4a)-(4b2+4b)

   ⇒4a(a+1)−4b(b+1)⇒4a(a+1)-4b(b+1)

   Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 22 nên a(a+1)a(a+1) và b(b+1)⋮2b(b+1)⋮2

   Do đó 4a(a+1)và4b(b+1)⋮84a(a+1)và4b(b+1)⋮8

   ⇒4a(a+1)–4b(b+1)⋮8⇒4a(a+1)–4b(b+1)⋮8

   ⇒⇒ (2a+1)2(2a+1)2 −– (2b+1)2(2b+1)2 ⋮8⋮8

   Vậy: Hiệu các lập phương của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

   Bình luận

2. Gọi hai số lẻ bất kì là `2a + 1` và `2b + 1 (a, b ∈ Z)`

   Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng:

   `(2a + 1)^2` `-` `(2b + 1)^2` `= (4a^2 + 4a + 1) – (4b^2 + 4b + 1)`

   `⇒ (4a^2 + 4a) – (4b^2 + 4b)`

   `⇒ 4a (a + 1) – 4b (b + 1)`

   Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho `2` nên `a (a+1)` và `b (b+1) ⋮ 2`

   Do đó `4a (a + 1) và 4b (b + 1) ⋮ 8`

   `⇒ 4a (a + 1) – 4b (b + 1) ⋮ 8`

   `⇒` `(2a + 1)^2` `-` `(2b + 1)^2` `⋮ 8`

   Vậy: Hiệu các lập phương của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho `8`

   Bình luận