Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn $x^{3}$ = $y^{3}$ + 2019. Giúp với ToT 02/12/2021 Bởi Ayla Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn $x^{3}$ = $y^{3}$ + 2019. Giúp với ToT
Đáp án: Giải thích các bước giải: Lời giải đơn giản: Do $x^3-y^3=2019>0 ⇒x^3-y^3>0⇒x>y$ $⇒$ Đặt $x=y+z$ với $z>0$ Pt trở thành: $(y+z)^3=y^3+2019$ $⇔y^3+3yz(y+z)+z^3=y^3+2019$ $⇔3yz(y+z)+z^3=2019$ (1) Do $3yz(y+z)$ và $2019$ đều chia hết cho 3 $⇒z^3$ chia hết cho 3 $⇒z$ chia hết cho 3 Đặt $z=3k$ thì (1) trở thành: $3y.3k(y+3k)+(3k)^3=2019⇔9yk(y+3k)+27k^3=2019$ $⇔3yk(y+3k)+9k^3=673$ $⇔3[yk(y+3k)+3k^3]=673$ Vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho 3 Vậy không tồn tại số nguyên $y;k$ nào thỏa mãn phương trình. Hay pt đã cho không có nghiệm nguyên Bình luận
`x;y\in Z` `\qquad x^3=y^3+2019` `<=>x^3-y^3=2019` `<=>(x-y)^3 +3x^2 y-3xy^2=2019` `<=>(x-y)^3+3(x-y)xy=2019 ` Ta có: `\quad 2019\ \vdots\ 3; 3(x-y)xy \ \vdots\ 3` `=>(x-y)^3 \ \vdots\ 3` $⇒x-y \vdots\ 3$ (bổ đề $1$) `=>x-y=3k\quad (k\inZ)` `=>(x-y)^3 =(3k)^3=27k^3=9.3k^3` `=> (x-y)^3\ \vdots\ 9` Vì `x-y \ \vdots\ 3 =>3(x-y)xy \ \vdots\ 9` `=>(x-y)^3+3(x-y)xy \ \vdots\ 9` Mà `2019` không chia hết cho $9$ `=>` Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Vậy không tồn tại $x;y\in Z$ thỏa: `x^3=y^3+2019` ___ C/m bổ đề $1$: `(x-y)^3\ \vdots\ 3 =>(x-y)\ \ vdots\ 3\quad (x;y\inZ)` Đặt : $a=x-y$; `x;y\inZ=>a\in Z` Giả sử $a^3$ chia hết $3$ và $a$ không chia hết 3. +) Nếu $a$ chia $3$ dư $1$ `=>a=3k+1\quad(k\inZ)` `=>a^3=27k^3 +27k^2+9k+1` không chia hết $3$. `=>` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$ +) Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ `=>a=3k+2\quad(k\inZ)` `=>a^3=27k^3 +54k^2+36k+8` không chia hết $3$. `=> ` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$ Do đó $a$ chia hết cho $3$. Vậy bổ đề được chứng minh. Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Lời giải đơn giản:
Do $x^3-y^3=2019>0 ⇒x^3-y^3>0⇒x>y$
$⇒$ Đặt $x=y+z$ với $z>0$
Pt trở thành: $(y+z)^3=y^3+2019$
$⇔y^3+3yz(y+z)+z^3=y^3+2019$
$⇔3yz(y+z)+z^3=2019$ (1)
Do $3yz(y+z)$ và $2019$ đều chia hết cho 3 $⇒z^3$ chia hết cho 3 $⇒z$ chia hết cho 3
Đặt $z=3k$ thì (1) trở thành:
$3y.3k(y+3k)+(3k)^3=2019⇔9yk(y+3k)+27k^3=2019$
$⇔3yk(y+3k)+9k^3=673$
$⇔3[yk(y+3k)+3k^3]=673$
Vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho 3
Vậy không tồn tại số nguyên $y;k$ nào thỏa mãn phương trình.
Hay pt đã cho không có nghiệm nguyên
`x;y\in Z`
`\qquad x^3=y^3+2019`
`<=>x^3-y^3=2019`
`<=>(x-y)^3 +3x^2 y-3xy^2=2019`
`<=>(x-y)^3+3(x-y)xy=2019 `
Ta có:
`\quad 2019\ \vdots\ 3; 3(x-y)xy \ \vdots\ 3`
`=>(x-y)^3 \ \vdots\ 3` $⇒x-y \vdots\ 3$ (bổ đề $1$)
`=>x-y=3k\quad (k\inZ)`
`=>(x-y)^3 =(3k)^3=27k^3=9.3k^3`
`=> (x-y)^3\ \vdots\ 9`
Vì `x-y \ \vdots\ 3 =>3(x-y)xy \ \vdots\ 9`
`=>(x-y)^3+3(x-y)xy \ \vdots\ 9`
Mà `2019` không chia hết cho $9$
`=>` Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Vậy không tồn tại $x;y\in Z$ thỏa:
`x^3=y^3+2019`
___
C/m bổ đề $1$:
`(x-y)^3\ \vdots\ 3 =>(x-y)\ \ vdots\ 3\quad (x;y\inZ)`
Đặt : $a=x-y$; `x;y\inZ=>a\in Z`
Giả sử $a^3$ chia hết $3$ và $a$ không chia hết 3.
+) Nếu $a$ chia $3$ dư $1$ `=>a=3k+1\quad(k\inZ)`
`=>a^3=27k^3 +27k^2+9k+1` không chia hết $3$.
`=>` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$
+) Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ `=>a=3k+2\quad(k\inZ)`
`=>a^3=27k^3 +54k^2+36k+8` không chia hết $3$.
`=> ` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$
Do đó $a$ chia hết cho $3$.
Vậy bổ đề được chứng minh.