Chứng minh rằng: M = n^4-10n^2+9 chia hết cho 384 với mọi n là số nguyên lẻ

0 bình luận về “Chứng minh rằng: M = n^4-10n^2+9 chia hết cho 384 với mọi n là số nguyên lẻ”

1. Đáp án:

   `M vdots 384(∀n\lẻ)`

   Giải thích các bước giải:

   `M=n^4-10n^2+9`

   `=n^4-9n^2-n^2+9`

   `=n^2(n^2-9)-(n^2-9)`

   `=(n^2-9)(n^2-1)`

   `=(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)`

   Vì `n \ lẻ->n=2m+1`

   `->M=(2m+1-3)(2m+1+3)(2m+1-1)(2m+1+1)`

   `=(2m-2)(2m+4).2m.(2m+2)`

   `=16m(m-1)(m+1)(m+2)`

   Vì `m(m-1)(m+1)(m+2)` là tích 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3,1 số chia hết cho 4

   `->m(m-1)(m+1)(m+2) vdots 24`

   `->16m(m-1)(m+1)(m+2) vdots 384`

   `Hay\M vdots 384(∀n\lẻ)`

   `cancel{nocopy//2072007}`

   Bình luận

2. `M=n^4-10n^2+9`

   `⇔ M=n^4-n^2-9n^2+9`

   `⇔ M=n^2(n^2-1)-9(n^2-1)`

   `⇔ M=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)`

   Mà `n` lẻ nên `n` có dạng `2k+1`

   `⇔ M=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)`

   `⇔ M=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)`

   `⇔ M=16k(k+1)(k-1)(k+2)` 

   `⇔ M=384k`

   `⇔ M\vdots384`

   `⇔ ĐPCM`

   Học tốt !

   Bình luận