Chứng minh rằng mỗi số tự nhiên n > 6 đều viết được dưới dạng tổng của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng mỗi số tự nhiên n > 6 đều viết được dưới dạng tổng của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nguyên tố cùng nhau.
Vì n là số tự nhiên lớn hơn 6 nên n có thể có các dạng sau:
+) Với n = 6k + 1 (k \(\in\) N*)
⇒ n = 3k + (3k + 1)
3k; 3k + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp => chúng nguyên tố cùng nhau
+) Với n = 6k + 3 (k \(\in\) N*)
Viết n = (3k +1) + (3k +2)
mà (3k +1); (3k+2) là 2 số tự nhiên liên tiếp => chúng nguyên tố cùng nhau
+) Tương tự với n = 6k + 5 (k \(\in\) N*)
Viết n = (3k+2) + (3k +3)
mà 3k + 2 và 3k + 3 nguyên tố cùng nhau
+) Với n = 6k + 2 (k \(\in\) N*)
Viết n = (6k -1) + 3
Gọi d = ƯCLN (6k – 1; 3)
⇒ 6k – 1 chia hết cho d;
3 chia hết cho d => 3. 2k = 6k chia hết cho d
⇒ 6k – (6k -1) = 1 chia hết cho d => d = 1
Do đó 6k – 1 và 3 nguyên tố cùng nhau
+) Với n = 6k + 4 (k \(\in\) N*)
Viết n = (6k +1 ) + 3
Dễ có: 6k +1 và 3 nguyên tố cùng nhau
⇒ đpcm
Không chắc đúng vì ….
n là số tự nhiên lớn hơn 6 nên n có thể có các dạng sau :
+) Với n = 6k + 1 ( k ∈ N* )
=> n = 3k + ( 3k + 1 )
Mà 3k ; 3k + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp => chúng nguyên tố cùng nhau
+) Với n = 6k + 3 ( k ∈ N* )
=> n = ( 3k + 1 ) + ( 3k + 2 )
Mà ( 3k + 1 ) ; ( 3k + 2 ) là 2 số tự nhiên liên tiếp => chúng nguyên tố cùng nhau.
+) Tương tự với n = 6k + 5 ( k ∈N* )
=> n = ( 3k + 2 ) + ( 3k + 3 )
Mà ( 3k + 2 ) ; ( 3k + 3 ) là 2 số tự nhiên liên tiếp => chúng nguyên tố cùng nhau.
+) Với n = 6k + 2 ( k ∈ N* )
=> n = ( 6k – 1 ) + 3
Gọi d = ƯCLN ( 6k – 1 ; 3 )
=> 6k chia hết cho d.
=> 3 chia hết cho d => 3.2k = 6k chia hết cho d.
=> 6k – ( 6k – 1 ) = 1 chia hết cho d => d = 1
Do đó 6k – 1 và 3 là nguyên tố cùng nhau.
+) Với n = 6k + 4 ( k ∈ N* )
=> n = ( 6k + 1 ) + 3
Dễ có: 6k + 1 và 3 nguyên tố cùng nhau.
=> đpcm