chứng minh rằng n.(n ² +1).(n ²+4) chia hết cho 5 với mọi n ∈ N

Giải thích các bước giải :

`n(n^2+1)(n^2+4)`

`=n(n^2-4+5)(n^2-1+5)`

`=n[(n^2-4)+5][(n^2-1)+5]`

`=n[(n-2)(n+2)+5][(n-1)(n+1)+5]`

`=n(n-2)(n+2)[(n-1)(n+1)+5]+5n[(n-1)(n+1)+5]`

`=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)+5n(n-2)(n+2)+5n[(n-1)(n+1)+5]`

Vì 5 ⋮  5

`=>5n(n-2)(n+2) ⋮  5`          `(1)`

`=>5n[(n-1)(n+1)+5] ⋮  5`   `(2)`

`+)`Vì `(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)` là tích `5` số nguyên liên tiếp  (Vì `n ∈  N`)

`=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) ⋮  5`         `(3)`

`+)`Từ `(1);(2)  và  (3)`

`=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-2)(n+2)+5n[(n-1)(n+1)+5] ⋮   5`

`<=> n(n^2+1)(n^2+4) ⋮  5`  `∀ n∈ N`

`=>ĐPCM`

~Chúc bạn hoc tốt !!!~