Chứng minh rằng,nếu x1,x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức f(x) = ax2 + bx + c (a khác 0) thì P(x) = a(x-x1).(x-x2)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Do `x_1,x_2` là hai nghiệm của `P(x)` nên:

`P(x_1)=ax_{1}^2+bx_{1}+c=0\ (1)`

`P(x_2)=ax_{2}^2+bx_{2}+c=0`

`P(x_1)-P(x_2)=a(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+b(x_1-x_2)=0`

`P(x_1)-P(x_2)=a(x_1+x_2)(x_1-x_2)+b(x_1-x_2)=0`

`P(x_1)-P(x_2)=(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0`

Vì `x_1 \ne x_2` nên `x_1-x_2 \ne 0`

`⇒ a(x_1+x_2)+b=0`

`b=-a(x_1+x_2)\ (2)`

Thay `(2)` vào `(1)` ta được:

`ax_{1}^{2}-a(x_1+x_2).x_1+c=0`

`⇔ x=ax_1(x_1+x_2)-ax_{1}^{2}=ax_1 x_2\ (3)`

Thay `(2),(3)` vào `P(x)` ta được:

`P(x)=ax^2+bx+c=ax^2-ax(x_1+x_2)-ax_1 x_2`

\(P(x)=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1 x_2\)

\(P(x)=a(x^2-xx_1-xx_2+x_1 x_2)\)

`P(x)=a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)]`

`P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)`

Vậy ⇒ ĐPCM