Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a2 + b2 ≥ 1/2 Giải đầy đủ, dễ hiểu nha! 28/08/2021 Bởi Alice Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a2 + b2 ≥ 1/2 Giải đầy đủ, dễ hiểu nha!
Ta có: `a + b = 1 ⇔ b = 1 – a` Thế vào bất đẳng thức `a² + b² ≥ 1/2` `a² + (1-a)²≥1/2` `⇔ a² + 1 -2a + a²≥1/2` `⇔2a² – 2a + 1≥1/2` `⇔ 4a² – 4a + 2≥1` `⇔ 4a² -4a + 1≥0` `⇔ (2a-1)²≥0` (luôn đúng) `→a² + b² ≥ 1/2` Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có $ (a+b)^2 = (a.1+b.1)^2 \le (a^2+b^2)*(1^2+1^2) = (a^2+b^2)*2$ $\to a^2 + b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$ ( điều phải chứng minh ) Dấu $=$ xảy ra khi $ a = b =\dfrac{1}{2}$ Bình luận
Ta có: `a + b = 1 ⇔ b = 1 – a`
Thế vào bất đẳng thức `a² + b² ≥ 1/2`
`a² + (1-a)²≥1/2`
`⇔ a² + 1 -2a + a²≥1/2`
`⇔2a² – 2a + 1≥1/2`
`⇔ 4a² – 4a + 2≥1`
`⇔ 4a² -4a + 1≥0`
`⇔ (2a-1)²≥0` (luôn đúng)
`→a² + b² ≥ 1/2`
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có
$ (a+b)^2 = (a.1+b.1)^2 \le (a^2+b^2)*(1^2+1^2) = (a^2+b^2)*2$
$\to a^2 + b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$ ( điều phải chứng minh )
Dấu $=$ xảy ra khi $ a = b =\dfrac{1}{2}$